与えられた特徴を持つ2次関数の方程式を求める問題です。5つの異なる条件が与えられており、それぞれについて2次関数の方程式を決定する必要があります。

1. 問題の内容

与えられた特徴を持つ2次関数の方程式を求める問題です。5つの異なる条件が与えられており、それぞれについて2次関数の方程式を決定する必要があります。

2. 解き方の手順

1. 3点(1,4), (-1,-2), (-2,1) を通る場合:

2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。与えられた3点の座標を代入して、a, b, c に関する連立方程式を立てる。

$4 = a + b + c$

$-2 = a - b + c$

$1 = 4a - 2b + c$

この連立方程式を解く。

(1)-(2)より$6 = 2b$ よって$b=3$

(1)-(3)より$3 = -3a + 3b$ よって$1 = -a+b$ これに$b=3$を代入すると、$1 = -a + 3$ より $a = 2$

$a=2$, $b=3$を(1)に代入すると $4 = 2 + 3 + c$ より $c = -1$

したがって、$y = 2x^2 + 3x - 1$

2. 3点(-1,0), (1,-4), (2,-3)を通る場合:

2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。与えられた3点の座標を代入して、a, b, c に関する連立方程式を立てる。

$0 = a - b + c$

$-4 = a + b + c$

$-3 = 4a + 2b + c$

この連立方程式を解く。

(2)-(1)より$-4 = 2b$ よって $b=-2$

(3)-(1)より$-3 = 3a + 3b$ よって $-1 = a + b$ これに$b=-2$を代入すると、$-1 = a -2$ より $a = 1$

$a=1$, $b=-2$を(1)に代入すると $0 = 1 + 2 + c$ より $c = -3$

したがって、$y = x^2 - 2x - 3$

3. $y = 2x^2$ を x 方向に -1, y 方向に 3 だけ平行移動した場合:

平行移動の公式を用いて、$x$ を $x+1$ に、$y$ を $y-3$ に置き換える。

$y - 3 = 2(x + 1)^2$

$y = 2(x^2 + 2x + 1) + 3$

$y = 2x^2 + 4x + 2 + 3$

$y = 2x^2 + 4x + 5$

4. 頂点の座標が (1,-3) で点 (0,0) を通る場合:

頂点の座標が(h,k)である2次関数は、$y = a(x-h)^2 + k$と表せる。この問題では、$h=1$, $k=-3$なので、$y = a(x-1)^2 - 3$となる。

点(0,0)を通るので、$0 = a(0-1)^2 - 3$ より $0 = a - 3$ よって $a=3$

したがって、$y = 3(x-1)^2 - 3$

$y = 3(x^2 - 2x + 1) - 3$

$y = 3x^2 - 6x + 3 - 3$

$y = 3x^2 - 6x$

5. 頂点の座標が (-4,-15) で点 (-1,3) を通る場合:

頂点の座標が(h,k)である2次関数は、$y = a(x-h)^2 + k$と表せる。この問題では、$h=-4$, $k=-15$なので、$y = a(x+4)^2 - 15$となる。

点(-1,3)を通るので、$3 = a(-1+4)^2 - 15$ より $3 = 9a - 15$ よって $18 = 9a$ より $a=2$

したがって、$y = 2(x+4)^2 - 15$

$y = 2(x^2 + 8x + 16) - 15$

$y = 2x^2 + 16x + 32 - 15$

$y = 2x^2 + 16x + 17$

3. 最終的な答え

1. $y = 2x^2 + 3x - 1$

2. $y = x^2 - 2x - 3$

3. $y = 2x^2 + 4x + 5$

4. $y = 3x^2 - 6x$

5. $y = 2x^2 + 16x + 17$