与えられた式 $x^6 + 7x^3 - 8$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^6 + 7x^3 - 8$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 = y$ と置換します。すると、与えられた式は

$y^2 + 7y - 8$

となります。

この二次式を因数分解します。

掛け算して-8、足し算して7になる2つの数は8と-1です。

よって、$y^2 + 7y - 8 = (y + 8)(y - 1)$ と因数分解できます。

ここで、$y = x^3$ を代入して元の変数に戻します。

$(x^3 + 8)(x^3 - 1)$

それぞれの項は和と差の3乗の形になっているので、さらに因数分解します。

$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

$x^3 - 1 = x^3 - 1^3 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

したがって、

$(x^3 + 8)(x^3 - 1) = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)(x - 1)(x^2 + x + 1)$

となります。

3. 最終的な答え

$(x + 2)(x - 1)(x^2 - 2x + 4)(x^2 + x + 1)$