与えられた式 $x^3 + y^3 - 27 + 9xy$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3 + y^3 - 27 + 9xy$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$27 = 3^3$であることを利用して、式を整理する。

$x^3 + y^3 + (-3)^3 + 9xy$と書き換える。

次に、因数分解の公式

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

を思い出す。この式を変形すると、

$a^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) + 3abc$

ここで、$a+b+c = 0$のとき、$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$となることを利用する。

元の式と比較すると、$a = x, b = y, c = -3$とおくことができる。

したがって、与えられた式は

$x^3 + y^3 + (-3)^3 - 3(x)(y)(-3) = x^3 + y^3 - 27 + 9xy$

ここで、因数分解の公式

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca)$

を用いる。

したがって、

$x^3 + y^3 + (-3)^3 - 3(x)(y)(-3) = (x+y-3)(x^2+y^2+(-3)^2 -xy - y(-3) - x(-3))$

$= (x+y-3)(x^2+y^2+9-xy+3y+3x)$

$= (x+y-3)(x^2+y^2-xy+3x+3y+9)$

3. 最終的な答え

$(x+y-3)(x^2+y^2-xy+3x+3y+9)$