与えられた複素数の割り算 $\frac{1+2i}{1-2i}$ を計算し、結果を $a+bi$ の形で表す。

1. 問題の内容

与えられた複素数の割り算 $\frac{1+2i}{1-2i}$ を計算し、結果を $a+bi$ の形で表す。

2. 解き方の手順

複素数の割り算を行うためには、分母の複素共役を分母と分子の両方に掛けます。

分母 $1-2i$ の複素共役は $1+2i$ です。

$\frac{1+2i}{1-2i} = \frac{(1+2i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}$

分子を計算します：

$(1+2i)(1+2i) = 1 + 2i + 2i + 4i^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i$

分母を計算します：

$(1-2i)(1+2i) = 1 + 2i - 2i - 4i^2 = 1 + 4 = 5$

したがって、

$\frac{1+2i}{1-2i} = \frac{-3+4i}{5} = -\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i$

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i$