2次関数 $y = 2x^2 + 8x + 12$ のグラフをグラフAとする。 (1) グラフAをどのように平行移動すれば、原点を通り、最小値が-18となるか。 (2) グラフAをどの点について対称移動すれば、軸がy軸と一致し、点(3,0)を通るか。 (3) グラフAと直線 $y = 4x + 10$ の共有点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 + 8x + 12$ のグラフをグラフAとする。

(1) グラフAをどのように平行移動すれば、原点を通り、最小値が-18となるか。

(2) グラフAをどの点について対称移動すれば、軸がy軸と一致し、点(3,0)を通るか。

(3) グラフAと直線 $y = 4x + 10$ の共有点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、グラフAの頂点を求める。

$y = 2x^2 + 8x + 12 = 2(x^2 + 4x) + 12 = 2(x^2 + 4x + 4) + 12 - 8 = 2(x+2)^2 + 4$

よって、グラフAの頂点は $(-2, 4)$ である。

原点を通り、最小値が-18となる放物線の式は、$y = ax^2 - 18$ の形になる。このグラフが原点を通るので、頂点は $(0, -18)$ となる。

グラフAの頂点 $(-2, 4)$ を $(0, -18)$ に移動させるためには、x軸方向に2、y軸方向に-22平行移動すればよい。

しかし、原点を通る必要があるため、頂点が $(0,-18)$ の放物線は $y = ax^2 - 18$ と表される。この放物線が原点を通ることはありえないので、原点を通り、最小値が-18となる放物線は $y=2(x-h)^2 -18$とおける。これが原点を通るので、

$0=2(0-h)^2-18$

$2h^2=18$

$h^2=9$

$h = \pm 3$

よって、$y = 2(x \pm 3)^2 - 18$ となる。

グラフAの式は$y = 2(x+2)^2 + 4$

$y+22 = 2(x-2 \pm 3 + 2)^2 + 4 = 2(x \pm 3)^2 + 4$

したがって、x軸方向に2、y軸方向に-22平行移動すると$y = 2(x)^2 -18$になる。これは原点を通らない。頂点は $(0,-18)$

平行移動後のグラフは、原点を通るので、$y = ax^2 + bx$ の形になる。最小値が -18 なので、これは誤り。

$y = 2(x+2)^2 + 4$ をx軸方向に $p$、y軸方向に $q$ だけ平行移動すると、

$y - q = 2(x-p+2)^2 + 4$

$y = 2(x-p+2)^2 + 4 + q$

原点を通ることから、$0 = 2(-p+2)^2 + 4 + q$

最小値が -18 であることから、$4 + q = -18$、よって $q = -22$

$0 = 2(-p+2)^2 + 4 - 22$

$2(-p+2)^2 = 18$

$(-p+2)^2 = 9$

$-p+2 = \pm 3$

$p = 2 \mp 3$

$p = -1, 5$

よって、グラフAをx軸方向に -1, y軸方向に -22 平行移動するか、x軸方向に 5, y軸方向に -22 平行移動すればよい。

(2)

グラフAを点 $(a, b)$ について対称移動すると、軸は $x=a - (x+2)$から$a= -1, x=0$軸になる。

対称移動後のグラフの軸がy軸に一致するということは、対称移動の中心のx座標がグラフAの軸のx座標の中点である。

グラフAの軸は $x = -2$ であるので、対称移動の中心のx座標は -2/2 = -1 である。つまり、$a=-1$。

点(3,0)を通ることから、対称移動後のグラフの式を $y = 2(x)^2+bx+c$ とする。

点(3,0)を通るから、$18 + 3b + c = 0$。

また、点(-1, b)の対称点が $(-1, -b)$ であるから、対称移動後のグラフも点(-1, -b) を通る。

このグラフは$y=2x^2+c$になる。

y軸について対称だから $b=0$.

また、原像$y=2x^2+8x+12$は$y=2(x+2)^2+4$とかける。頂点は(-2,4)

x軸方向に平行移動させ、原点に対称にするので。

答え: 点(-2,0)について対称移動させればよい。

頂点(-2,4)について対称移動すると、(2,-4)に写る。

グラフAを点 $(-2, 0)$ に関して対称移動すると、

$y = -2x^2 + 12$ になる。

点(3, 0)を通らないので条件を満たさない。

グラフAを$(x,y)$に点$(a,b)$について対象移動すると、(2a-x, 2b-y)となる。

(x,y) = (3,0), (2a-x, 2b-y)を代入して$y=2x^2+8x+12$

より、 $2b-y = 2(2a-x)^2+8(2a-x)+12 = y$軸と一致

$y= 2(2a-x)^2+8(2a-x)+12$を整理すると。

軸がy軸に一致するということは、対称移動の中心のx座標が-2である。

対称移動の中心を(-2, b)とすると、

$y= 2x^2+c$になるはずなので、点(3,0)を通らない。点(a,b)について対象移動するとx=-2/2 =-1を通る。

点(-1,b)について対称移動。$b = 2x^2-x$

(3)

グラフAと直線 $y = 4x + 10$ の共有点の座標を求める。

$2x^2 + 8x + 12 = 4x + 10$

$2x^2 + 4x + 2 = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x+1)^2 = 0$

$x = -1$

$y = 4(-1) + 10 = 6$

よって、共有点の座標は $(-1, 6)$

3. 最終的な答え

(1) x軸方向に -1, y軸方向に -22 平行移動するか、x軸方向に 5, y軸方向に -22 平行移動する。

(2) 点(-1,0)について対称移動

(3) $(-1, 6)$