与えられた2次関数 $y = 2x^2 + 8x + 12$ のグラフをグラフAとする。以下の3つの問いに答える。 (1) グラフAを平行移動して、原点を通り、最小値が -18 となるようにするには、どのように平行移動すればよいか。 (2) グラフAをある点について対称移動して、軸が y 軸と一致し、点 (3, 0) を通るようにするには、どの点について対称移動すればよいか。 (3) グラフA と直線 $y = 4x + 10$ の共有点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = 2x^2 + 8x + 12$ のグラフをグラフAとする。以下の3つの問いに答える。

(1) グラフAを平行移動して、原点を通り、最小値が -18 となるようにするには、どのように平行移動すればよいか。

(2) グラフAをある点について対称移動して、軸が y 軸と一致し、点 (3, 0) を通るようにするには、どの点について対称移動すればよいか。

(3) グラフA と直線 $y = 4x + 10$ の共有点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、グラフAの式を平方完成する。

$y = 2(x^2 + 4x) + 12 = 2(x^2 + 4x + 4) - 8 + 12 = 2(x + 2)^2 + 4$

グラフAの頂点は $(-2, 4)$ である。

原点を通り、最小値が -18 となるグラフの頂点は $(0, -18)$ ではない。そのような2次関数の式は、$y = a(x-0)^2 - 18$となる。これが原点を通るためには、$y = ax^2-18$となる。これは最小値が-18だから、$a$は正の数である。しかし、$y=ax^2-18$は原点を通るという条件と、最小値が-18であるという条件を満たす。グラフAを平行移動したグラフを $y = 2(x-p)^2 + q$ とする。これが原点を通るので、$2p^2 + q = 0$。また、最小値は $q$ であり、$q = -18$。よって、$2p^2 - 18 = 0$。これから、$p^2 = 9$ より $p = \pm 3$。

したがって、$x$ 軸方向に -3 または 3, $y$ 軸方向に -22 平行移動すればよい。

平行移動後の式は、$y = 2(x+3)^2 -18$ または $y=2(x-3)^2 -18$ となる。$y = 2x^2 +12x$ または $y = 2x^2 -12x$ となる。このうち、原点を通るのは、$2(x+3)^2 -18$ のほうなので、$x$軸方向に -3, $y$軸方向に -22 平行移動すればよい。$y = 2(x+3)^2 - 18$。

(2)

グラフAの軸は $x = -2$ である。軸が y 軸と一致するように対称移動するためには、$x = -2$ が対称の中心になるように対称移動すればよい。つまり、点 $(-2, y)$ について対称移動すれば軸は y 軸と一致する。グラフAを点 $(-2, a)$ について対称移動したグラフを考える。移動後のグラフ上の点 $(x, y)$ は、移動前のグラフ上の点 $(-4-x, 2a-y)$ から移動してきたと考えられる。この点が元のグラフ $y = 2x^2 + 8x + 12$ 上にあるので、

$2a - y = 2(-4-x)^2 + 8(-4-x) + 12$

$2a - y = 2(16 + 8x + x^2) - 32 - 8x + 12$

$2a - y = 32 + 16x + 2x^2 - 32 - 8x + 12$

$2a - y = 2x^2 + 8x + 12$

$y = -2x^2 - 8x - 12 + 2a$

このグラフが $(3, 0)$ を通るので、

$0 = -2(3^2) - 8(3) - 12 + 2a$

$0 = -18 - 24 - 12 + 2a$

$0 = -54 + 2a$

$2a = 54$

$a = 27$

よって、対称の中心は $(-2, 27)$ である。

(3)

グラフA $y = 2x^2 + 8x + 12$ と直線 $y = 4x + 10$ の共有点の座標を求める。

$2x^2 + 8x + 12 = 4x + 10$

$2x^2 + 4x + 2 = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x + 1)^2 = 0$

$x = -1$

$y = 4(-1) + 10 = 6$

共有点の座標は $(-1, 6)$ である。

3. 最終的な答え

(1) x 軸方向に -3, y 軸方向に -22 平行移動すればよい。

(2) 点 $(-2, 27)$ について対称移動すればよい。

(3) 共有点の座標は $(-1, 6)$ である。