2次方程式 $x^2 + 3x - 1 = 0$ の2つの解を$\alpha$, $\beta$とするとき、以下の値を求めます。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $(\alpha - \beta)^2$ (3) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 3x - 1 = 0$ の2つの解を$\alpha$, $\beta$とするとき、以下の値を求めます。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $(\alpha - \beta)^2$

(3) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、$\alpha + \beta$と$\alpha\beta$の値を求めます。

$x^2 + 3x - 1 = 0$ において、

$\alpha + \beta = -3$

$\alpha\beta = -1$

(1) $\alpha^2 + \beta^2$を求めます。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha^2 + \beta^2 = (-3)^2 - 2(-1) = 9 + 2 = 11$

(2) $(\alpha - \beta)^2$を求めます。

$(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = \alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha\beta$

(1)より$\alpha^2 + \beta^2 = 11$であるので、

$(\alpha - \beta)^2 = 11 - 2(-1) = 11 + 2 = 13$

または

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (-3)^2 - 4(-1) = 9 + 4 = 13$

(3) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$を求めます。

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{-3}{-1} = 3$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = 11$

(2) $(\alpha - \beta)^2 = 13$

(3) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 3$