2次関数 $y = 2x^2 + 8x + 12$ のグラフをグラフAと呼ぶ。 (1) グラフAをどのように平行移動すれば、原点を通り、最小値が -18 となるか。 (2) グラフAをどの点について対称移動すれば、軸が $y$ 軸と一致し、点(3, 0) を通るか。 (3) グラフAと $y = 4x + 10$ の共有点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 + 8x + 12$ のグラフをグラフAと呼ぶ。

(1) グラフAをどのように平行移動すれば、原点を通り、最小値が -18 となるか。

(2) グラフAをどの点について対称移動すれば、軸が $y$ 軸と一致し、点(3, 0) を通るか。

(3) グラフAと $y = 4x + 10$ の共有点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、グラフAの頂点を求める。

$y = 2x^2 + 8x + 12 = 2(x^2 + 4x) + 12 = 2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 12 = 2(x+2)^2 - 8 + 12 = 2(x+2)^2 + 4$

したがって、グラフAの頂点は $(-2, 4)$ である。

グラフAを平行移動して原点を通り、最小値が -18 となるグラフの頂点は $(0, -18)$ である。

頂点の移動は $(-2, 4)$ から $(0, -18)$ なので、

$x$ 軸方向に $0 - (-2) = 2$ 、 $y$ 軸方向に $-18 - 4 = -22$ 移動すればよい。

したがって、グラフAを $x$ 軸方向に 2, $y$ 軸方向に -22 平行移動すればよい。

(2) グラフAを点について対称移動して、軸が $y$ 軸と一致するということは、対称移動後のグラフは $y = 2x^2 + c$ の形になる。また、このグラフは点 $(3, 0)$ を通るので、

$0 = 2(3)^2 + c$

$0 = 18 + c$

$c = -18$

したがって、対称移動後のグラフは $y = 2x^2 - 18$ である。

グラフAの頂点は $(-2, 4)$ であり、対称移動後のグラフの頂点は $(0, -18)$ である。

2点 $(-2, 4)$ と $(0, -18)$ の中点を求める。

$(\frac{-2+0}{2}, \frac{4-18}{2}) = (-1, -7)$

したがって、グラフAを点 $(-1, -7)$ について対称移動すればよい。

(3) グラフAと $y = 4x + 10$ の共有点の座標を求める。

$2x^2 + 8x + 12 = 4x + 10$

$2x^2 + 4x + 2 = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x+1)^2 = 0$

$x = -1$

$y = 4(-1) + 10 = -4 + 10 = 6$

したがって、共有点の座標は $(-1, 6)$ である。

3. 最終的な答え

(1) $x$ 軸方向に 2, $y$ 軸方向に -22 平行移動

(2) 点 $(-1, -7)$

(3) $(-1, 6)$