問題2：放物線を $x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に-3だけ平行移動し、さらに $x$ 軸に関して対称移動したところ、$y = -2x^2 - 3x + 4$ になった。もとの放物線の方程式を求める。 問題3： (1) 2次関数 $y = 2x^2 + 8x + 12$ のグラフAをどのように平行移動すれば、原点を通り、最小値が-18となるか。 (2) グラフAをどの点について対称移動すれば、軸が $y$ 軸と一致し、点 (3, 0) を通るか。 (3) グラフAと $y = 4x + 10$ の共有点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

問題2：放物線を $x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に-3だけ平行移動し、さらに $x$ 軸に関して対称移動したところ、$y = -2x^2 - 3x + 4$ になった。もとの放物線の方程式を求める。

問題3：

(1) 2次関数 $y = 2x^2 + 8x + 12$ のグラフAをどのように平行移動すれば、原点を通り、最小値が-18となるか。

(2) グラフAをどの点について対称移動すれば、軸が $y$ 軸と一致し、点 (3, 0) を通るか。

(3) グラフAと $y = 4x + 10$ の共有点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

問題2：

1. 移動の逆操作を行う。まず、$x$ 軸に関して対称移動したグラフを元に戻すために、$x$ 軸に関して対称移動する。$y$ を $-y$ に置き換える。

$-y = -2x^2 - 3x + 4$

$y = 2x^2 + 3x - 4$

2. 次に、平行移動の逆操作を行う。$x$ 軸方向に2だけ平行移動したので、$x$ を $x - 2$ に置き換える。また、$y$ 軸方向に-3だけ平行移動したので、$y$ を $y + 3$ に置き換える。

$y + 3 = 2(x - 2)^2 + 3(x - 2) - 4$

3. 式を整理する。

$y + 3 = 2(x^2 - 4x + 4) + 3x - 6 - 4$

$y + 3 = 2x^2 - 8x + 8 + 3x - 10$

$y = 2x^2 - 5x - 5$

問題3：

(1) $y = 2x^2 + 8x + 12$ を平方完成する。

$y = 2(x^2 + 4x) + 12$

$y = 2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 12$

$y = 2(x + 2)^2 - 8 + 12$

$y = 2(x + 2)^2 + 4$

グラフAの頂点は $(-2, 4)$。

原点を通るようにするには、頂点を $(0, -18)$ に移動させる必要がある。

$x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $-22$ だけ平行移動すれば良い。

(2) 軸が $y$ 軸と一致するようにするには、$x$ 軸に関して対称移動させ、$x$ 軸方向に $2$ だけ平行移動させる必要がある。このとき、グラフは $y = -2x^2 + 4$ となる。

点 $(3, 0)$ を通るためには、このグラフをさらに平行移動させる必要がある。

この対称の中心を $(a, b)$ とすると、$2a = -2$ より、$a=-1$. また放物線は点$(-1, 4)$ を通るので，

$0= -2(3+1)^2 +4 + 2\cdot4 + 2c$

$0= -32 +4 + 8 + 2c$

$0 = -20 + 2c$

$c=10$

よって，放物線 $y=f(x)$ を$y=f(-x)$とする．

次に軸がy軸になるようにするから，x=0のときグラフ上の点は $(-2, 12)$となる．これを $(2,12)$と対称な点にして，軸をy軸と一致させる．この場合，点0,12で対称移動する

さらに，$点 (3, 0)$ を通るように移動させるには、 $y$軸方向に移動させれば良い．このとき、$x=0$での$y$の値が$y軸と一致するように移動できる．

グラフ $y=4-2x^2$ は点(3,0)について点対称になってないため，軸がy軸と一致して点（3,0)を通る点はない．

(3) $y = 2x^2 + 8x + 12$ と $y = 4x + 10$ の共有点を求める。

$2x^2 + 8x + 12 = 4x + 10$

$2x^2 + 4x + 2 = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x + 1)^2 = 0$

$x = -1$

$y = 4(-1) + 10 = 6$

共有点の座標は $(-1, 6)$

3. 最終的な答え

問題2：$y = 2x^2 - 5x - 5$

問題3：

(1) $x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $-22$

(2) 存在しない

(3) $(-1, 6)$