2次関数 $y = 2x^2 + 8x + 12$ のグラフをグラフAとする。 (1) グラフAを平行移動して原点を通り、最小値が-18となるような平行移動を求める。 (2) グラフAをある点について対称移動して、軸がy軸と一致し、点(3,0)を通るような対称移動を定める点を求める。 (3) グラフAと直線 $y = 4x + 10$ の共有点の座標を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 + 8x + 12$ のグラフをグラフAとする。

(1) グラフAを平行移動して原点を通り、最小値が-18となるような平行移動を求める。

(2) グラフAをある点について対称移動して、軸がy軸と一致し、点(3,0)を通るような対称移動を定める点を求める。

(3) グラフAと直線 $y = 4x + 10$ の共有点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、グラフAの頂点を求めるために、平方完成する。

$y = 2x^2 + 8x + 12 = 2(x^2 + 4x) + 12 = 2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 12 = 2(x+2)^2 - 8 + 12 = 2(x+2)^2 + 4$

よって、グラフAの頂点は $(-2, 4)$ である。

グラフAを平行移動して原点を通り、最小値が-18となるグラフの式は、$y = 2x^2 + bx - 18$ と表せる。

さらに、最小値が-18であることから、グラフは $y = 2(x-p)^2 - 18$ と表せる。

これが原点を通ることから、$0 = 2(0-p)^2 - 18$ より、 $2p^2 = 18$, $p^2 = 9$, $p = \pm 3$。

$y = 2(x \pm 3)^2 - 18 = 2(x^2 \pm 6x + 9) - 18 = 2x^2 \pm 12x$.

$y=2x^2+8x+12$ を $y=2x^2 \pm 12x$ に移動させる平行移動は、頂点の移動を考えればよい。

$y=2(x+2)^2+4$ の頂点は $(-2, 4)$であり、$y=2(x+3)^2-18$ の頂点は $(-3, -18)$、$y=2(x-3)^2-18$ の頂点は $(3, -18)$である。

したがって、$(-2, 4) \to (-3, -18)$ または $(-2, 4) \to (3, -18)$の移動である。

$(-2, 4) \to (-3, -18)$ の場合、x方向に -1、y方向に -22 移動する。

$(-2, 4) \to (3, -18)$ の場合、x方向に 5、y方向に -22 移動する。

従って、x軸方向に -1、y軸方向に -22 だけ平行移動するか、x軸方向に 5、y軸方向に -22 だけ平行移動すればよい。

しかし、平行移動後のグラフは原点を通らなければならないため、$y=2(x-3)^2-18=2x^2-12x$ である。よって、x軸方向に 5、y軸方向に -22 だけ平行移動すればよい。

(2)

グラフA: $y = 2(x+2)^2 + 4$

ある点に関して対称移動して、軸がy軸と一致するということは、頂点のx座標が0となるということである。

よって、グラフの頂点は $(0, k)$ の形になる。また、点(3,0)を通ることから、移動後のグラフは $y = a(x-3)(x+3) = a(x^2-9)$ と表せる。

頂点のy座標は $k = -9a$ である。軸がy軸と一致するので、$y=2x^2+c$ の形になる。

点(3,0)を通るので、$0 = 2 \cdot 3^2 + c$ より、$c = -18$ である。従って、$y=2x^2-18 = 2(x^2-9)$。

グラフAを $y=2x^2-18$ に移動するには、まずx軸に関して対称移動し、$y=-2x^2-8x-12$ となる。その後平行移動させて $y=2x^2-18$ にする必要がある。

対称移動の中心を$(a,b)$とすると、点$(x,y)$と点$(x', y')$が点対称であるとき、$a = \frac{x+x'}{2}, b = \frac{y+y'}{2}$が成り立つ。

グラフの頂点は $(-2,4)$なので、対称移動後の頂点は$(2,-4)$。 $x'=-x-4$

$x'=4-x$. $x=2$

$y=-2x^2+8x-4$

頂点(-2,4)は(2,-22)。 (-2,4)->(2,-22)

対称移動の点を(p,q)とすると、

$p=(-2+x)/2, q=(4+y)/2$。点(-2,4)を中心(p,q)に対称移動すると(x,y)になる。

平行移動後、軸がy軸と一致するから、頂点のx座標は0である。よって、$(-2,4) \rightarrow (0,k)$

対称移動の中心のx座標は(-2+0)/2=-1。 軸がy軸と一致し、点(3,0)を通るので、$y=a(x-3)(x+3)$となる。頂点は(0,-9a)

グラフAを点(p,q)に関して対称移動したグラフの式は？

元のグラフA上の点$(x,y)$を対称移動させると$(2p-x,2q-y)$となる。

従って、$2q-y = 2(2p-x)^2+8(2p-x)+12$。つまり、$y = -2x^2-8x-12+4q = y' = -2x^2-8x-12+4q$

軸がy軸となるためには、xの項が消去されなければならない。

A(x,y)-> (2a-x, 2b-y)

2b-y = 2(2a-x)^2+8(2a-x)+12

=2(4a^2-4ax+x^2)+16a-8x+12

=8a^2-8ax+2x^2+16a-8x+12

$y=-2x^2+8ax-8a^2+8x-16a-12+2b$

係数は一致するので、-8a+8=0。　a=1。

(3)

$y = 2x^2 + 8x + 12$と$y = 4x + 10$の共有点を求める。

$2x^2 + 8x + 12 = 4x + 10$

$2x^2 + 4x + 2 = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x+1)^2 = 0$

$x = -1$

$y = 4(-1) + 10 = 6$

共有点の座標は $(-1, 6)$

3. 最終的な答え

(1) x軸方向に 5、y軸方向に -22

(2) 対称移動の中心：(1, -5)

(3) 共有点の座標：(-1, 6)