$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ である。 このとき、$\sin \theta \cos \theta$ と $\sin \theta - \cos \theta$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ である。

このとき、$\sin \theta \cos \theta$ と $\sin \theta - \cos \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ の両辺を2乗する。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$\sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{4}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であるから、

$1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}$

$2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$

次に、$(\sin \theta - \cos \theta)^2$ を計算する。

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 - 2\sin \theta \cos \theta$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$ を代入すると、

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - 2 \left(-\frac{3}{8}\right) = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

したがって、$\sin \theta - \cos \theta = \pm \sqrt{\frac{7}{4}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{2}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta \ge 0$ である。

また、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2} > 0$ であるから、$\cos \theta > -\sin \theta \ge 0$ であれば $\cos \theta > 0$ である。

しかし、$\sin \theta > 0$ かつ $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ より、$\theta$ は第一象限または第二象限の角である。

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8} < 0$ であるから、$\sin \theta > 0$ かつ $\cos \theta < 0$ でなければならない。

したがって、$\theta$ は第二象限の角である。

ゆえに、$\sin \theta > 0$ かつ $\cos \theta < 0$ なので、$\sin \theta - \cos \theta > 0$ である。

したがって、$\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$

$\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$