$a > 0$, $b > 0$ のとき、$ab + \frac{9}{ab} \ge 6$ を証明する問題です。

1. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$ のとき、$ab + \frac{9}{ab} \ge 6$ を証明する問題です。

2. 解き方の手順

相加平均と相乗平均の関係を利用します。$ab > 0$ であることに注意します。

$ab$ と $\frac{9}{ab}$ はともに正であるから、相加平均と相乗平均の関係より、

$\frac{ab + \frac{9}{ab}}{2} \ge \sqrt{ab \cdot \frac{9}{ab}}$

$\frac{ab + \frac{9}{ab}}{2} \ge \sqrt{9}$

$\frac{ab + \frac{9}{ab}}{2} \ge 3$

$ab + \frac{9}{ab} \ge 6$

等号が成立するのは、$ab = \frac{9}{ab}$ のとき、すなわち $ab^2 = 9$ 、$ab = 3$ のときです。

3. 最終的な答え

$ab + \frac{9}{ab} \ge 6$ (証明終わり)