$x = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$ のとき、次の値を求めよ。 (1) $x + \frac{1}{x}$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$ のとき、次の値を求めよ。

(1) $x + \frac{1}{x}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

2. 解き方の手順

(1) $x + \frac{1}{x}$ を求める。

まず、$\frac{1}{x}$ を計算する。

$\frac{1}{x} = \frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$

したがって、

$x + \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3} + \sqrt{7} + \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求める。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

より、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$

(1)で $x + \frac{1}{x} = \sqrt{7}$ であるから、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (\sqrt{7})^2 - 2 = 7 - 2 = 5$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ を求める。

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x^2(\frac{1}{x}) + 3x(\frac{1}{x^2}) + \frac{1}{x^3} = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$

より、

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$

(1)で $x + \frac{1}{x} = \sqrt{7}$ であるから、

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (\sqrt{7})^3 - 3(\sqrt{7}) = 7\sqrt{7} - 3\sqrt{7} = 4\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{7}$

(2) $5$

(3) $4\sqrt{7}$