与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ (または $a, b$) の値を求める問題です。具体的には以下の6つの問題があります。 (1) $ax^2 + bx + c = 4x^2 - 7x + 5$ (2) $a(x+2) - b(x-2) = 4x$ (3) $a(x+1)^2 + b(x+1) + c = 2x^2 + 1$ (4) $\frac{2}{x(x+5)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+5}$ (5) $\frac{3x-1}{(x+1)(x-3)} = \frac{a}{x-3} + \frac{b}{x+1}$ (6) $\frac{x+10}{x^2+5x+4} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+4}$

1. 問題の内容

与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ (または $a, b$) の値を求める問題です。具体的には以下の6つの問題があります。

(1) $ax^2 + bx + c = 4x^2 - 7x + 5$

(2) $a(x+2) - b(x-2) = 4x$

(3) $a(x+1)^2 + b(x+1) + c = 2x^2 + 1$

(4) $\frac{2}{x(x+5)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+5}$

(5) $\frac{3x-1}{(x+1)(x-3)} = \frac{a}{x-3} + \frac{b}{x+1}$

(6) $\frac{x+10}{x^2+5x+4} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+4}$

2. 解き方の手順

(1)

左辺と右辺の係数を比較することで、$a, b, c$ の値を求めます。

$x^2$ の係数比較：$a = 4$

$x$ の係数比較：$b = -7$

定数項の比較：$c = 5$

(2)

左辺を展開し、$x$ の係数と定数項をまとめます。

$ax + 2a - bx + 2b = (a-b)x + (2a+2b) = 4x$

係数比較により、以下の連立方程式を得ます。

$a - b = 4$

$2a + 2b = 0$

2番目の式より、$a = -b$。これを1番目の式に代入すると $-b - b = 4$, よって $b = -2$, $a = 2$。

(3)

左辺を展開し、$x^2, x,$ 定数項をまとめます。

$a(x^2 + 2x + 1) + b(x+1) + c = ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c) = 2x^2 + 1$

係数比較により、以下の連立方程式を得ます。

$a = 2$

$2a+b = 0$

$a+b+c = 1$

$a = 2$ より、$2(2) + b = 0$, よって $b = -4$。

$a+b+c = 1$ より、$2 - 4 + c = 1$, よって $c = 3$。

(4)

右辺を計算し、左辺の分母と揃えます。

$\frac{a(x+5) + bx}{x(x+5)} = \frac{(a+b)x + 5a}{x(x+5)} = \frac{2}{x(x+5)}$

係数比較により、以下の連立方程式を得ます。

$a+b = 0$

$5a = 2$

2番目の式より $a = \frac{2}{5}$。1番目の式より $b = -a = -\frac{2}{5}$。

(5)

右辺を計算し、左辺の分母と揃えます。

$\frac{a(x+1) + b(x-3)}{(x-3)(x+1)} = \frac{(a+b)x + (a-3b)}{(x+1)(x-3)} = \frac{3x-1}{(x+1)(x-3)}$

係数比較により、以下の連立方程式を得ます。

$a+b = 3$

$a-3b = -1$

1番目の式より、$a = 3-b$。これを2番目の式に代入すると $(3-b) - 3b = -1$, よって $3 - 4b = -1$, $4b = 4$, $b = 1$。

したがって $a = 3 - 1 = 2$。

(6)

$x^2 + 5x + 4 = (x+1)(x+4)$であるから、

$\frac{x+10}{(x+1)(x+4)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+4}$

右辺を計算し、左辺の分母と揃えます。

$\frac{a(x+4) + b(x+1)}{(x+1)(x+4)} = \frac{(a+b)x + (4a+b)}{(x+1)(x+4)} = \frac{x+10}{(x+1)(x+4)}$

係数比較により、以下の連立方程式を得ます。

$a+b = 1$

$4a+b = 10$

1番目の式より、$b = 1-a$。これを2番目の式に代入すると $4a + (1-a) = 10$, よって $3a + 1 = 10$, $3a = 9$, $a = 3$。

したがって $b = 1 - 3 = -2$。

3. 最終的な答え

(1) $a = 4, b = -7, c = 5$

(2) $a = 2, b = -2$

(3) $a = 2, b = -4, c = 3$

(4) $a = \frac{2}{5}, b = -\frac{2}{5}$

(5) $a = 2, b = 1$

(6) $a = 3, b = -2$