$a, b$ は実数で、$ab > 0$ のとき、次の1～5の中から正しいものを選ぶ問題です。 1. $a < b \Rightarrow a^2 < b^2$

1. 問題の内容

$a, b$ は実数で、$ab > 0$ のとき、次の1～5の中から正しいものを選ぶ問題です。

1. $a < b \Rightarrow a^2 < b^2$

2. $a < b \Rightarrow a^2 > b^2$

3. $a^2 < b^2 \Rightarrow a < b$

4. $a^2 > b^2 \Rightarrow a > b$

5. 上記の1～4は全て正しくない

2. 解き方の手順

$ab > 0$ という条件は、$a$ と $b$ が同符号であることを意味します。つまり、$a > 0$ かつ $b > 0$、または、$a < 0$ かつ $b < 0$ のいずれかです。

選択肢1: $a < b \Rightarrow a^2 < b^2$

$a, b > 0$ のとき、$a < b$ ならば $a^2 < b^2$ は正しいです。

$a, b < 0$ のとき、$a < b$ ならば $a^2 > b^2$ となります。例えば、$a = -2, b = -1$ のとき、$a < b$ ですが、$a^2 = 4 > 1 = b^2$ となります。よって、選択肢1は誤りです。

選択肢2: $a < b \Rightarrow a^2 > b^2$

$a, b > 0$ のとき、$a < b$ ならば $a^2 < b^2$ ですから、選択肢2は誤りです。

選択肢3: $a^2 < b^2 \Rightarrow a < b$

$a, b < 0$ のとき、$a = -2, b = -1$ ならば、$a^2 = 4 > 1 = b^2$ です。$a, b > 0$ のとき，$a^2 < b^2$ ならば $a < b$ が成立します。$a^2 < b^2$ は $|a| < |b|$ を意味します。

しかし、$a = 1, b = 2$のとき$a^2 < b^2$ ならば $a < b$は正しいですが、$a = -2, b = -1$の場合、$a^2 = 4 > b^2 = 1$なので、$a^2 < b^2$ とはなりません。

また、$a = -1, b = 2$の場合、$a^2=1 < b^2=4$ですが、$a < b$は成り立ちます。

$a^2 < b^2$ から $a < b$ が常に導かれるわけではありません。

$a, b > 0$であれば、$a^2 < b^2$から$a < b$が導かれます。

例えば、$a^2 = 1$で$b^2 = 4$であれば、$a = 1, b = 2$なので、$a < b$です。$a^2 < b^2$は$|a| < |b|$を表すので、$a, b > 0$の時のみ、$a < b$となります。

よって、選択肢3は誤りです。

選択肢4: $a^2 > b^2 \Rightarrow a > b$

$a, b > 0$ のとき、$a^2 > b^2$ ならば $a > b$ は正しいです。

$a, b < 0$ のとき、$a^2 > b^2$ ならば $a < b$ となります。

よって、選択肢4は誤りです。

選択肢5: 上記の1～4は全て正しくない

$a, b > 0$の場合

1. $a < b \Rightarrow a^2 < b^2$ は正しい。

2. $a^2 > b^2 \Rightarrow a > b$ は正しい。

1と4が$a, b > 0$の時に正しいので5は誤り。

$a, b > 0$ の時、4が正しい。

3. 最終的な答え

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