与えられたベクトルの組が$K^3$の基底になるかどうか判定する問題です。具体的には、以下の2つの組について判定します。 (1) $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ (2) $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられたベクトルの組が$K^3$の基底になるかどうか判定する問題です。具体的には、以下の2つの組について判定します。

(1) $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

(2) $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

$K^3$の基底となるためには、与えられたベクトルが線形独立である必要があります。線形独立かどうかは、これらのベクトルを列ベクトルとする行列の行列式を計算することで判定できます。行列式が0でなければ線形独立であり、基底となります。

(1) の場合

与えられたベクトルを列ベクトルとする行列をAとすると、

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

行列式$|A|$を計算します。

$|A| = 1(3 \cdot 1 - 0 \cdot 2) - 1(1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) + 1(1 \cdot 2 - 3 \cdot 2) = 1(3) - 1(1) + 1(2 - 6) = 3 - 1 - 4 = -2$

$|A| = -2 \neq 0$なので、与えられたベクトルは線形独立であり、$K^3$の基底となります。

(2) の場合

与えられたベクトルを列ベクトルとする行列をBとすると、

$B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

行列式$|B|$を計算します。

$|B| = 1(2 \cdot 2 - 2 \cdot 1) - 1(2 \cdot 2 - 2 \cdot 3) + 1(2 \cdot 1 - 2 \cdot 3) = 1(4 - 2) - 1(4 - 6) + 1(2 - 6) = 2 - (-2) - 4 = 2 + 2 - 4 = 0$

$|B| = 0$なので、与えられたベクトルは線形独立ではなく、$K^3$の基底となりません。

3. 最終的な答え

(1) 基底になる

(2) 基底にならない