与えられた複素ベクトルの組が線形独立か線形従属かを判定する問題です。具体的には、以下の2つの組について判定します。 (1) $\begin{bmatrix} 2+3i \\ 3-2i \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2-3i \\ 3+2i \end{bmatrix}$ (2) $\begin{bmatrix} 2+3i \\ 3-2i \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3+2i \\ 2-3i \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた複素ベクトルの組が線形独立か線形従属かを判定する問題です。具体的には、以下の2つの組について判定します。

(1) $\begin{bmatrix} 2+3i \\ 3-2i \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2-3i \\ 3+2i \end{bmatrix}$

(2) $\begin{bmatrix} 2+3i \\ 3-2i \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3+2i \\ 2-3i \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

複素ベクトルの組が線形独立であるとは、それらの線形結合がゼロベクトルになるのが、全ての係数がゼロの場合のみであるということです。線形従属であるとは、少なくとも1つの係数がゼロでない線形結合でゼロベクトルになるということです。

(1) 2つのベクトルを $\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 2+3i \\ 3-2i \end{bmatrix}$、$\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 2-3i \\ 3+2i \end{bmatrix}$ とします。

$c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2 = \vec{0}$ となる $c_1$ と $c_2$ を求めます。

$\begin{bmatrix} 2+3i \\ 3-2i \end{bmatrix} c_1 + \begin{bmatrix} 2-3i \\ 3+2i \end{bmatrix} c_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

これは以下の連立方程式に変換できます。

$(2+3i)c_1 + (2-3i)c_2 = 0$

$(3-2i)c_1 + (3+2i)c_2 = 0$

この連立方程式の係数行列の行列式を計算します。

$det = (2+3i)(3+2i) - (2-3i)(3-2i) = (6 + 4i + 9i - 6) - (6 - 4i - 9i - 6) = 13i - (-13i) = 26i \neq 0$

行列式が0でないため、$c_1 = c_2 = 0$ となり、線形独立です。

(2) 2つのベクトルを $\vec{w}_1 = \begin{bmatrix} 2+3i \\ 3-2i \end{bmatrix}$、$\vec{w}_2 = \begin{bmatrix} 3+2i \\ 2-3i \end{bmatrix}$ とします。

$d_1\vec{w}_1 + d_2\vec{w}_2 = \vec{0}$ となる $d_1$ と $d_2$ を求めます。

$\begin{bmatrix} 2+3i \\ 3-2i \end{bmatrix} d_1 + \begin{bmatrix} 3+2i \\ 2-3i \end{bmatrix} d_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

これは以下の連立方程式に変換できます。

$(2+3i)d_1 + (3+2i)d_2 = 0$

$(3-2i)d_1 + (2-3i)d_2 = 0$

この連立方程式の係数行列の行列式を計算します。

$det = (2+3i)(2-3i) - (3+2i)(3-2i) = (4+9) - (9+4) = 13 - 13 = 0$

行列式が0であるため、線形従属です。

$d_1(2+3i) = -d_2(3+2i)$, $d_1 = -(3+2i)/(2+3i) d_2= -((3+2i)(2-3i))/(4+9)d_2 = -(6-9i+4i+6)/13 d_2 = -(12-5i)/13d_2$

3. 最終的な答え

(1) 線形独立

(2) 線形従属