放物線 $y = x^2 + 2ax + 2a^2 + 4a - 4$ とx軸との2つの交点のx座標がともに1より大きいとき、$a$の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 2ax + 2a^2 + 4a - 4$ とx軸との2つの交点のx座標がともに1より大きいとき、$a$の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 + 2ax + 2a^2 + 4a - 4$ とおきます。

放物線 $y=f(x)$ と x軸との交点のx座標がともに1より大きい条件は、以下の3つです。

(1) $f(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つ。

(2) 軸の位置が1より大きい。

(3) $f(1) > 0$

(1) $f(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D > 0$ であることです。

$D = (2a)^2 - 4(2a^2 + 4a - 4) = 4a^2 - 8a^2 - 16a + 16 = -4a^2 - 16a + 16 > 0$

$a^2 + 4a - 4 < 0$

これを解くと、$-2 - 2\sqrt{2} < a < -2 + 2\sqrt{2}$

(2) 軸の位置が1より大きい条件は、軸が $x = -a$ であることから、$-a > 1$ より $a < -1$

(3) $f(1) > 0$ より、

$1 + 2a + 2a^2 + 4a - 4 > 0$

$2a^2 + 6a - 3 > 0$

$a = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4(2)(-3)}}{4} = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{15}}{2}$

したがって、$a < \frac{-3 - \sqrt{15}}{2}$ または $a > \frac{-3 + \sqrt{15}}{2}$

上記の3つの条件をすべて満たす $a$ の範囲を求めます。

まず、(1) の $-2 - 2\sqrt{2} < a < -2 + 2\sqrt{2}$ より、$-2 - 2(1.414) < a < -2 + 2(1.414)$ なので、$-4.828 < a < 0.828$

次に、(2) の $a < -1$ と (1) の範囲を合わせると、$-4.828 < a < -1$

さらに、(3) の $a < \frac{-3 - \sqrt{15}}{2}$ または $a > \frac{-3 + \sqrt{15}}{2}$ を考慮します。

$\frac{-3 - \sqrt{15}}{2} \approx \frac{-3 - 3.873}{2} \approx -3.4365$

$\frac{-3 + \sqrt{15}}{2} \approx \frac{-3 + 3.873}{2} \approx 0.4365$

したがって、$a < -3.4365$ または $a > 0.4365$

これと、$-4.828 < a < -1$ を合わせると、$-4.828 < a < -3.4365$

したがって、$-2 - 2\sqrt{2} < a < \frac{-3 - \sqrt{15}}{2}$

3. 最終的な答え

$-2 - 2\sqrt{2} < a < \frac{-3 - \sqrt{15}}{2}$