$a, 2, b$ が等比数列であり、$\frac{1}{b}, \frac{1}{2}, \frac{1}{a}$ が等差数列であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。ただし、$a$ と $b$ は 0 でない実数とする。

1. 問題の内容

$a, 2, b$ が等比数列であり、$\frac{1}{b}, \frac{1}{2}, \frac{1}{a}$ が等差数列であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。ただし、$a$ と $b$ は 0 でない実数とする。

2. 解き方の手順

まず、$a, 2, b$ が等比数列であることから、

$2^2 = ab$

$ab = 4$

が得られる。

次に、$\frac{1}{b}, \frac{1}{2}, \frac{1}{a}$ が等差数列であることから、

$\frac{1}{2} = \frac{\frac{1}{b} + \frac{1}{a}}{2}$

$\frac{1}{2} = \frac{a + b}{2ab}$

$1 = \frac{a + b}{ab}$

$ab = a + b$

$ab = 4$ なので、$4 = a + b$ となる。

したがって、$a + b = 4$ が得られる。

$a$ と $b$ は、$t^2 - 4t + 4 = 0$ の解である。

$(t - 2)^2 = 0$

$t = 2$

よって、$a = 2, b = 2$

3. 最終的な答え

$a = 2, b = 2$