次の2つの方程式を解きます。 (1) $8^{2-x} = 4^{x+1}$ (2) $4^x + 3 \cdot 2^x - 4 = 0$

1. 問題の内容

次の2つの方程式を解きます。

(1) $8^{2-x} = 4^{x+1}$

(2) $4^x + 3 \cdot 2^x - 4 = 0$

2. 解き方の手順

(1)

まず、両辺の底を2に揃えます。

$8 = 2^3$ なので、$8^{2-x} = (2^3)^{2-x} = 2^{3(2-x)} = 2^{6-3x}$

$4 = 2^2$ なので、$4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2(x+1)} = 2^{2x+2}$

したがって、$2^{6-3x} = 2^{2x+2}$

指数部分が等しいので、$6-3x = 2x+2$

これを解くと、$5x = 4$ より $x = \frac{4}{5}$

(2)

$2^x = t$ とおくと、$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$

したがって、$t^2 + 3t - 4 = 0$

$(t+4)(t-1) = 0$

$t = -4, 1$

$2^x = t$ なので、$2^x = -4$ または $2^x = 1$

$2^x = -4$ は解なし。

$2^x = 1$ は $x = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x = 4/5$

(2) $x = 0$