放物線 $y = ax^2 + bx + c$ を $x$ 軸方向に 1, $y$ 軸方向に -2 だけ平行移動したところ、$y = -2x^2 + 3x - 1$ になった。定数 $a, b, c$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2 + bx + c$ を $x$ 軸方向に 1, $y$ 軸方向に -2 だけ平行移動したところ、$y = -2x^2 + 3x - 1$ になった。定数 $a, b, c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

平行移動前の放物線の方程式 $y = ax^2 + bx + c$ を、$x$ 軸方向に 1, $y$ 軸方向に -2 だけ平行移動した後の放物線の方程式を求める。平行移動の変換は、$x$ を $x - 1$ に、$y$ を $y + 2$ に置き換えることで行える。

よって、平行移動後の放物線の方程式は、

$y + 2 = a(x - 1)^2 + b(x - 1) + c$

$y = a(x^2 - 2x + 1) + b(x - 1) + c - 2$

$y = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c - 2$

$y = ax^2 + (-2a + b)x + (a - b + c - 2)$

この放物線が、$y = -2x^2 + 3x - 1$ と一致するので、各項の係数を比較して、

$a = -2$

$-2a + b = 3$

$a - b + c - 2 = -1$

一つ目の式から、$a = -2$ がわかる。

二つ目の式に代入すると、$-2(-2) + b = 3$、つまり $4 + b = 3$。よって、$b = -1$。

三つ目の式に $a$ と $b$ の値を代入すると、$(-2) - (-1) + c - 2 = -1$、つまり $-2 + 1 + c - 2 = -1$、$-3 + c = -1$。よって、$c = 2$。

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = -1$

$c = 2$