$x^3 - x^2 + 3x + 1$ を整式 $B$ で割ったとき、商が $x+1$、余りが $3x-1$ となるような整式 $B$ を求める。

1. 問題の内容

$x^3 - x^2 + 3x + 1$ を整式 $B$ で割ったとき、商が $x+1$、余りが $3x-1$ となるような整式 $B$ を求める。

2. 解き方の手順

割り算の原理より、割られる式 = 割る式 × 商 + 余り が成り立つ。この問題の場合、以下の式が成り立つ。

$x^3 - x^2 + 3x + 1 = B(x+1) + (3x-1)$

この式を $B$ について解く。まず、$3x-1$ を左辺に移項する。

$x^3 - x^2 + 3x + 1 - (3x-1) = B(x+1)$

$x^3 - x^2 + 3x + 1 - 3x + 1 = B(x+1)$

$x^3 - x^2 + 2 = B(x+1)$

次に、両辺を $(x+1)$ で割ると $B$ が求まる。

$B = \frac{x^3 - x^2 + 2}{x+1}$

分子を因数分解するか、割り算を行う必要がある。組み立て除法を用いると簡単に計算できる。

$x^3 - x^2 + 0x + 2$ を $x+1$ で割る。

```

1 -2 2

-1 | 1 -1 0 2

| -1 2 -2

------------------

1 -2 2 0

```

よって、 $x^3 - x^2 + 2 = (x+1)(x^2 - 2x + 2)$ である。

したがって、

$B = \frac{(x+1)(x^2 - 2x + 2)}{x+1} = x^2 - 2x + 2$

3. 最終的な答え

$B = x^2 - 2x + 2$