整式 $P(x) = x^3 - (k+4)x^2 + (2k+5)x + 3k+10$ があります。 (1) $P(-1)$の値を求めよ。 (2) 3次方程式 $P(x)=0$ が虚数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。 (3) (2)のとき、3次方程式 $P(x)=0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とする。 $(\alpha+2\beta)^2 + (\beta+2\gamma)^2 + (\gamma+2\alpha)^2 = 11$ となるような $k$ の値を求めよ。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

整式 $P(x) = x^3 - (k+4)x^2 + (2k+5)x + 3k+10$ があります。

(1) $P(-1)$の値を求めよ。

(2) 3次方程式 $P(x)=0$ が虚数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。

(3) (2)のとき、3次方程式 $P(x)=0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とする。 $(\alpha+2\beta)^2 + (\beta+2\gamma)^2 + (\gamma+2\alpha)^2 = 11$ となるような $k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $P(-1)$ の値を求めます。

$P(-1) = (-1)^3 - (k+4)(-1)^2 + (2k+5)(-1) + 3k+10 = -1 - (k+4) - 2k - 5 + 3k+10 = -1 -k - 4 - 2k - 5 + 3k + 10 = 0$

(2) $P(x)$ を因数分解すると、(1)より $P(-1)=0$ なので、$P(x)$ は $x+1$ を因数に持ちます。

$P(x) = (x+1)(x^2 - (k+5)x + 3k+10)$ となります。

$P(x)=0$ が虚数解を持つためには、2次方程式 $x^2 - (k+5)x + 3k+10 = 0$ が虚数解を持てば良い。

判別式 $D = (k+5)^2 - 4(3k+10) = k^2 + 10k + 25 - 12k - 40 = k^2 - 2k - 15$

$D < 0$ となればよいので、$k^2 - 2k - 15 < 0$

$(k-5)(k+3) < 0$

$-3 < k < 5$

(3) $x^2 - (k+5)x + 3k+10 = 0$ の2つの解を $\beta, \gamma$ とすると、解と係数の関係より

$\beta + \gamma = k+5$

$\beta\gamma = 3k+10$

$\alpha = -1$ なので

$(\alpha+2\beta)^2 + (\beta+2\gamma)^2 + (\gamma+2\alpha)^2 = (-1+2\beta)^2 + (\beta+2\gamma)^2 + (\gamma-2)^2 = 11$

$1 - 4\beta + 4\beta^2 + \beta^2 + 4\beta\gamma + 4\gamma^2 + \gamma^2 - 4\gamma + 4 = 11$

$5\beta^2 + 5\gamma^2 + 4\beta\gamma - 4\beta - 4\gamma + 5 = 11$

$5(\beta^2 + \gamma^2) + 4\beta\gamma - 4(\beta+\gamma) = 6$

$5((\beta+\gamma)^2 - 2\beta\gamma) + 4\beta\gamma - 4(\beta+\gamma) = 6$

$5(\beta+\gamma)^2 - 6\beta\gamma - 4(\beta+\gamma) = 6$

$5(k+5)^2 - 6(3k+10) - 4(k+5) = 6$

$5(k^2 + 10k + 25) - 18k - 60 - 4k - 20 = 6$

$5k^2 + 50k + 125 - 22k - 80 = 6$

$5k^2 + 28k + 45 = 6$

$5k^2 + 28k + 39 = 0$

$(5k + 13)(k+3) = 0$

$k = -3$ または $k = -\frac{13}{5} = -2.6$

$-3 < k < 5$ を満たすので、どちらも条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $P(-1) = 0$

(2) $-3 < k < 5$

(3) $k = -3, -\frac{13}{5}$