整式 $A$ を $x^2 - 2x - 1$ で割ると、商が $2x - 3$、余りが $-2x$ である。このとき、$A$ を求めよ。

1. 問題の内容

整式 $A$ を $x^2 - 2x - 1$ で割ると、商が $2x - 3$、余りが $-2x$ である。このとき、$A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

割り算の原理より、

$A = (\text{割る式}) \times (\text{商}) + (\text{余り})$

である。よって、$A$ は次のように計算できる。

$A = (x^2 - 2x - 1)(2x - 3) + (-2x)$

$A = x^2(2x - 3) - 2x(2x - 3) - (2x - 3) - 2x$

$A = 2x^3 - 3x^2 - 4x^2 + 6x - 2x + 3 - 2x$

$A = 2x^3 - 7x^2 + 2x + 3$

3. 最終的な答え

$A = 2x^3 - 7x^2 + 2x + 3$