整式 $A$ を $x^2+x+1$ で割ると、商が $x-3$ で余りが $2x-1$ である。このとき、整式 $A$ を求めよ。

1. 問題の内容

整式 $A$ を $x^2+x+1$ で割ると、商が $x-3$ で余りが $2x-1$ である。このとき、整式 $A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

整式の割り算の関係式は、

$A = (x^2+x+1)(x-3) + (2x-1)$

で表される。この式を展開して整理することで、整式 $A$ を求める。

まず、$(x^2+x+1)(x-3)$ を展開する。

$(x^2+x+1)(x-3) = x^2(x-3) + x(x-3) + 1(x-3) = x^3 - 3x^2 + x^2 - 3x + x - 3 = x^3 - 2x^2 - 2x - 3$

次に、この結果に $2x-1$ を足す。

$A = x^3 - 2x^2 - 2x - 3 + 2x - 1 = x^3 - 2x^2 - 4$

3. 最終的な答え

$A = x^3 - 2x^2 - 4$