与えられた連立方程式の解 $(x, y)$ を求める問題です。連立方程式は以下の通りです。 $4\lambda = \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$ $3\lambda = \frac{1}{3} x^{\frac{2}{3}} y^{-\frac{2}{3}}$ $4x + 3y = 90$

1. 問題の内容

与えられた連立方程式の解 $(x, y)$ を求める問題です。連立方程式は以下の通りです。

$4\lambda = \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

$3\lambda = \frac{1}{3} x^{\frac{2}{3}} y^{-\frac{2}{3}}$

$4x + 3y = 90$

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立方程式から $\lambda$ を消去します。最初の式と2番目の式から、$\lambda$ について解き、それらを等しいとおきます。

$\lambda = \frac{1}{6} x^{-\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

$\lambda = \frac{1}{9} x^{\frac{2}{3}} y^{-\frac{2}{3}}$

したがって、

$\frac{1}{6} x^{-\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{9} x^{\frac{2}{3}} y^{-\frac{2}{3}}$

両辺に18を掛けて整理します。

$3 x^{-\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} = 2 x^{\frac{2}{3}} y^{-\frac{2}{3}}$

両辺に $x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

$3y = 2x$

よって、$x = \frac{3}{2}y$ となります。

これを3番目の式 $4x + 3y = 90$ に代入します。

$4 (\frac{3}{2} y) + 3y = 90$

$6y + 3y = 90$

$9y = 90$

$y = 10$

$x = \frac{3}{2} \times 10 = 15$

3. 最終的な答え

$(x, y) = (15, 10)$