与えられた5つの数式/方程式について、それぞれの空欄に適切な値を埋める問題です。具体的には、以下の通りです。 (1) $\sqrt[4]{256}$ の値を求める。 (2) $\sqrt{a} \times \sqrt[3]{a} \div \sqrt[6]{a} = a^{\frac{\boxed{2}}{\boxed{3}}}$ の指数部分を求める。 (3) $\log_5{6} - \log_5{150} = \boxed{4}\boxed{5}$ の値を求める。 (4) $\log_3{\sqrt[3]{18}} - \frac{1}{3}\log_3{2} = \frac{\boxed{6}}{\boxed{7}}$ の値を求める。 (5) 連立方程式を解き、解となる$(x,y)$の組み合わせを$(8,9)$, $(10,11)$から選ぶ。 $4\lambda = \frac{2}{3}x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$ $3\lambda = \frac{1}{3}x^{\frac{2}{3}}y^{-\frac{2}{3}}$ $4x+3y=90$

1. 問題の内容

与えられた5つの数式/方程式について、それぞれの空欄に適切な値を埋める問題です。具体的には、以下の通りです。

(1) $\sqrt[4]{256}$ の値を求める。

(2) $\sqrt{a} \times \sqrt[3]{a} \div \sqrt[6]{a} = a^{\frac{\boxed{2}}{\boxed{3}}}$ の指数部分を求める。

(3) $\log_5{6} - \log_5{150} = \boxed{4}\boxed{5}$ の値を求める。

(4) $\log_3{\sqrt[3]{18}} - \frac{1}{3}\log_3{2} = \frac{\boxed{6}}{\boxed{7}}$ の値を求める。

(5) 連立方程式を解き、解となる$(x,y)$の組み合わせを$(8,9)$, $(10,11)$から選ぶ。

$4\lambda = \frac{2}{3}x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$

$3\lambda = \frac{1}{3}x^{\frac{2}{3}}y^{-\frac{2}{3}}$

$4x+3y=90$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt[4]{256}$ の計算:

$256 = 2^8$ より、$\sqrt[4]{256} = \sqrt[4]{2^8} = 2^{8/4} = 2^2 = 4$

(2) $\sqrt{a} \times \sqrt[3]{a} \div \sqrt[6]{a}$ の計算:

$\sqrt{a} \times \sqrt[3]{a} \div \sqrt[6]{a} = a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{1}{3}} \div a^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6}} = a^{\frac{3+2-1}{6}} = a^{\frac{4}{6}} = a^{\frac{2}{3}}$

(3) $\log_5{6} - \log_5{150}$ の計算:

$\log_5{6} - \log_5{150} = \log_5{\frac{6}{150}} = \log_5{\frac{1}{25}} = \log_5{5^{-2}} = -2$

(4) $\log_3{\sqrt[3]{18}} - \frac{1}{3}\log_3{2}$ の計算:

$\log_3{\sqrt[3]{18}} - \frac{1}{3}\log_3{2} = \log_3{18^{\frac{1}{3}}} - \log_3{2^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}\log_3{18} - \frac{1}{3}\log_3{2} = \frac{1}{3}(\log_3{18} - \log_3{2}) = \frac{1}{3}\log_3{\frac{18}{2}} = \frac{1}{3}\log_3{9} = \frac{1}{3}\log_3{3^2} = \frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3}$

(5) 連立方程式の解:

$4\lambda = \frac{2}{3}x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$ (1)

$3\lambda = \frac{1}{3}x^{\frac{2}{3}}y^{-\frac{2}{3}}$ (2)

$4x+3y=90$ (3)

(1)より$\lambda = \frac{1}{6}x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$

(2)より$\lambda = \frac{1}{9}x^{\frac{2}{3}}y^{-\frac{2}{3}}$

よって、$\frac{1}{6}x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{9}x^{\frac{2}{3}}y^{-\frac{2}{3}}$

$9x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} = 6x^{\frac{2}{3}}y^{-\frac{2}{3}}$

$3y = 2x$, つまり $x = \frac{3}{2}y$

(3)に代入して、$4(\frac{3}{2}y) + 3y = 90$

$6y + 3y = 90$

$9y = 90$

$y = 10$

$x = \frac{3}{2} \times 10 = 15$

したがって、$(x, y) = (15, 10)$

与えられた選択肢の中にx=15となるものはないので、問題文をよく確認すると

$4\lambda = \frac{2}{3}x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$ (1)

$3\lambda = \frac{1}{3}x^{\frac{2}{3}}y^{-\frac{2}{3}}$ (2)

$4x+3y=90$ (3)

(1)/(2)を行うと$\frac{4}{3} = 2 \frac{y}{x}$, $2x=3y$。

(3)に代入すると$4x+2x=90$なので$x=15$、$y=10$となる。

選択肢を探すと、

もし$\lambda$の係数が逆だった場合、$\frac{3}{4} = 2 \frac{y}{x}$, $3x=8y$。

(3)に代入すると$4x+\frac{9x}{8}=90$なので$\frac{41x}{8}=90$, $x = \frac{720}{41}$となる。

与えられた選択肢の中にはx=15となるものはないので、問題文の写し間違いの可能性もある。

ひとまず正しそうな選択肢は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 2/3

(3) -2

(4) 2/3

(5) $(15, 10)$ , 解の選択肢がないため「なし」と答える。