与えられた式 $ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)$ を因数分解しなさい。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)$ を因数分解しなさい。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) = a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$

次に、この式を整理します。ここでは、$a$について整理することにします。

$a^2b - ca^2 - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a = (b-c)a^2 + (c^2 - b^2)a + (b^2c - bc^2)$

さらに、係数を因数分解します。

$(b-c)a^2 + (c^2 - b^2)a + (b^2c - bc^2) = (b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + bc(b-c)$

$= (b-c)a^2 - (b+c)(b-c)a + bc(b-c)$

ここで、$b-c$が共通因数なので、くくりだします。

$(b-c)(a^2 - (b+c)a + bc)$

次に、$a^2 - (b+c)a + bc$ を因数分解します。

$a^2 - (b+c)a + bc = a^2 - ba - ca + bc = a(a-b) - c(a-b) = (a-b)(a-c)$

したがって、元の式は次のように因数分解できます。

$(b-c)(a-b)(a-c)$

通常、循環するように並べ替えて $- (a-b)(b-c)(c-a)$ とすることが多いです。

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$