全体集合を1桁の自然数とし、その部分集合A, Bをそれぞれ $A = \{2x | 1 \le x \le 4, xは自然数\}$、 $B = \{y | yは6の正の約数\}$ と定める。 以下の集合にあてはまるものを、選択肢から選ぶ。 (1) $\overline{A}$ (2) $A \cap B$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $A \cap \overline{B}$ (5) $\overline{A} \cup B$

1. 問題の内容

全体集合を1桁の自然数とし、その部分集合A, Bをそれぞれ $A = \{2x | 1 \le x \le 4, xは自然数\}$、 $B = \{y | yは6の正の約数\}$ と定める。

以下の集合にあてはまるものを、選択肢から選ぶ。

(1) $\overline{A}$

(2) $A \cap B$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $A \cap \overline{B}$

(5) $\overline{A} \cup B$

2. 解き方の手順

まず、集合A, Bを具体的に書き出す。

Aは $x$ が1から4までの自然数なので、$2x$ は 2, 4, 6, 8 となる。

よって、$A = \{2, 4, 6, 8\}$

Bは6の正の約数なので、$B = \{1, 2, 3, 6\}$

全体集合は1桁の自然数なので、 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

$\overline{A}$ (Aの補集合) は、全体集合からAの要素を除いたものなので、$\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$\overline{B}$ (Bの補集合) は、全体集合からBの要素を除いたものなので、$\overline{B} = \{4, 5, 7, 8, 9\}$

(1) $\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

(2) $A \cap B$ (AとBの共通部分) は、AとB両方に含まれる要素なので、$A \cap B = \{2, 6\}$

(3) $\overline{A} \cap B$ ($\overline{A}$とBの共通部分) は、$\overline{A}$とB両方に含まれる要素なので、$\overline{A} \cap B = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cap \{1, 2, 3, 6\} = \{1, 3\}$

(4) $A \cap \overline{B}$ (Aと$\overline{B}$の共通部分) は、Aと$\overline{B}$両方に含まれる要素なので、$A \cap \overline{B} = \{2, 4, 6, 8\} \cap \{4, 5, 7, 8, 9\} = \{4, 8\}$

(5) $\overline{A} \cup B$ ($\overline{A}$とBの和集合) は、$\overline{A}$またはBに含まれる要素なので、$\overline{A} \cup B = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cup \{1, 2, 3, 6\} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

(2) $A \cap B = \{2, 6\}$

(3) $\overline{A} \cap B = \{1, 3\}$

(4) $A \cap \overline{B} = \{4, 8\}$

(5) $\overline{A} \cup B = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9\}$