$\log_{10}2 = 0.3010$ および $\log_{10}3 = 0.4771$ が与えられている。不等式 $(\frac{1}{3})^n < 0.0001$ を満たす最小の整数 $n$ を求める。

1. 問題の内容

$\log_{10}2 = 0.3010$ および $\log_{10}3 = 0.4771$ が与えられている。不等式 $(\frac{1}{3})^n < 0.0001$ を満たす最小の整数 $n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺の常用対数をとる。

$\log_{10}(\frac{1}{3})^n < \log_{10}(0.0001)$

$n \log_{10}(\frac{1}{3}) < \log_{10}(10^{-4})$

$n \log_{10}(3^{-1}) < -4$

$-n \log_{10}3 < -4$

$n \log_{10}3 > 4$

$\log_{10}3$ の値が与えられているので、代入する。

$n(0.4771) > 4$

$n > \frac{4}{0.4771}$

$n > 8.3845...$

したがって、不等式を満たす最小の整数$n$は$9$である。

3. 最終的な答え

9