2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の2つの解にそれぞれ1を加えた数を解にもつ2次方程式が $x^2 + bx + a - 6 = 0$ であるとき、定数 $a$, $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の2つの解にそれぞれ1を加えた数を解にもつ2次方程式が $x^2 + bx + a - 6 = 0$ であるとき、定数 $a$, $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + ax + b = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係から、

\begin{align*}

\alpha + \beta &= -a \\

\alpha \beta &= b

\end{align*}

となる。

次に、$x^2 + bx + a - 6 = 0$ の2つの解は $\alpha + 1$, $\beta + 1$ なので、解と係数の関係から、

\begin{align*}

(\alpha + 1) + (\beta + 1) &= -b \\

(\alpha + 1)(\beta + 1) &= a - 6

\end{align*}

となる。

これらの式を整理すると、

\begin{align*}

\alpha + \beta + 2 &= -b \\

\alpha \beta + \alpha + \beta + 1 &= a - 6

\end{align*}

となる。

$\alpha + \beta = -a$ と $\alpha \beta = b$ を代入すると、

\begin{align*}

-a + 2 &= -b \\

b - a + 1 &= a - 6

\end{align*}

となる。

これらの式を整理すると、

\begin{align*}

a - b &= 2 \\

2a - b &= 7

\end{align*}

となる。

この連立方程式を解く。

$2a - b = 7$ から $a - b = 2$ を引くと、

$a = 5$ が得られる。

$a - b = 2$ に $a = 5$ を代入すると、

$5 - b = 2$ となり、$b = 3$ が得られる。

したがって、$a = 5$, $b = 3$ である。

3. 最終的な答え

$a = 5$, $b = 3$