## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

$x$ の3次式 $P(x) = x^3 - (a-1)x^2 + 3(a-2)x - 2a$ が与えられている。ただし、$a$ は実数の定数である。

(1) $P(x)$ を $x-2$ で割った商を求める。

(2) 方程式 $P(x) = 0$ の1つの解が $1+2i$ であるとき、$a$ の値を求める。ただし、$i$ は虚数単位である。

(3) 方程式 $P(x) = 0$ が虚数解をもつとする。このとき、$P(x) = 0$ の3つの解の平方の和が6であるような $a$ の値を求める。

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2. 解き方の手順

(1) $P(x)$ を $x-2$ で割った商を求める。

筆算または組み立て除法を用いて $P(x)$ を $x-2$ で割る。

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x^2 + (3-a)x + a

x - 2 | x^3 - (a-1)x^2 + 3(a-2)x - 2a

x^3 - 2x^2

--------------------

(3-a)x^2 + 3(a-2)x

(3-a)x^2 - 2(3-a)x

--------------------

ax - 2a

ax - 2a

--------------------

0

```

よって、商は $x^2 + (3-a)x + a$ である。

(2) 方程式 $P(x) = 0$ の1つの解が $1+2i$ であるとき、$a$ の値を求める。

$P(1+2i) = 0$ であるから、

$(1+2i)^3 - (a-1)(1+2i)^2 + 3(a-2)(1+2i) - 2a = 0$

$(1+2i)^2 = 1 + 4i - 4 = -3+4i$

$(1+2i)^3 = (1+2i)(-3+4i) = -3 + 4i -6i -8 = -11-2i$

$-11 - 2i - (a-1)(-3+4i) + 3(a-2)(1+2i) - 2a = 0$

$-11 - 2i + 3a - 4ai -3 + 4i + 3a + 6ai - 6 - 12i - 2a = 0$

$4a - 20 + (-10 + 2a)i = 0$

実部と虚部がそれぞれ0となるので、

$4a - 20 = 0$ かつ $-10 + 2a = 0$

よって $a = 5$

(3) 方程式 $P(x) = 0$ が虚数解をもつとする。このとき、$P(x) = 0$ の3つの解の平方の和が6であるような $a$ の値を求める。

$P(x)=0$ の解を $\alpha, \beta, \gamma$ とおく。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta + \gamma = a-1$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 3(a-2)$

$\alpha\beta\gamma = 2a$

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$

$= (a-1)^2 - 2 \cdot 3(a-2)$

$= a^2 - 2a + 1 - 6a + 12$

$= a^2 - 8a + 13 = 6$

$a^2 - 8a + 7 = 0$

$(a-1)(a-7) = 0$

$a = 1, 7$

$a=1$ のとき、$P(x) = x^3 + 3(1-2)x - 2 = x^3 - 3x - 2 = (x+1)^2(x-2)$

解は $-1, -1, 2$ なので、虚数解を持たないため、不適。

$a=7$ のとき、$P(x) = x^3 - 6x^2 + 15x - 14$

$P(x)=0$が虚数解を持つ必要があるので、判別式を考える。

$P(x) = (x-2)(x^2+(3-a)x+a) = (x-2)(x^2-4x+7)=0$

二次方程式の解は、$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 28}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-12}}{2} = 2 \pm i\sqrt{3}$

よって、解は $2, 2+i\sqrt{3}, 2-i\sqrt{3}$

3つの解は、$2, 2+i\sqrt{3}, 2-i\sqrt{3}$ なので虚数解を持つ。

よって、$a=7$ は適する。

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3. 最終的な答え

(1) $x^2 + (3-a)x + a$

(2) $a = 5$

(3) $a = 7$