$2.25^n$ の整数部分が3桁となるような整数 $n$ の値を求める。

1. 問題の内容

$2.25^n$ の整数部分が3桁となるような整数 $n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$2.25^n$ の整数部分が3桁であるということは、$2.25^n$ が100以上1000未満であるということなので、以下の不等式が成り立つ。

$100 \le 2.25^n < 1000$

ここで、$2.25 = \frac{9}{4}$ であるから、

$100 \le (\frac{9}{4})^n < 1000$

両辺の常用対数をとると、

$\log_{10}{100} \le \log_{10}{(\frac{9}{4})^n} < \log_{10}{1000}$

$2 \le n(\log_{10}{9} - \log_{10}{4}) < 3$

$2 \le n(2\log_{10}{3} - 2\log_{10}{2}) < 3$

$\log_{10}{2} \approx 0.3010, \log_{10}{3} \approx 0.4771$ を使うと、

$2 \le n(2(0.4771) - 2(0.3010)) < 3$

$2 \le n(0.9542 - 0.6020) < 3$

$2 \le n(0.3522) < 3$

$\frac{2}{0.3522} \le n < \frac{3}{0.3522}$

$5.678... \le n < 8.517...$

$n$ は整数なので、$n = 6, 7, 8$ である。

$n = 5$ のとき $2.25^5 \approx 57.665$

$n = 6$ のとき $2.25^6 \approx 129.746$

$n = 7$ のとき $2.25^7 \approx 291.928$

$n = 8$ のとき $2.25^8 \approx 656.838$

$n = 9$ のとき $2.25^9 \approx 1477.886$

したがって、$2.25^n$ の整数部分が3桁となるのは $n = 6, 7, 8$ である。問題文から、整数 n の値を求めよ、なので、当てはまる整数nを全て答える。

3. 最終的な答え

6, 7, 8