$x = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x + \frac{1}{x}$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x + \frac{1}{x}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

2. 解き方の手順

(1) $x + \frac{1}{x}$ を求める。

まず、$\frac{1}{x}$ を計算する。

$\frac{1}{x} = \frac{2}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{2(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{2(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

したがって、

$x + \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求める。

$\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ より、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2$

(1) より $x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ であるから、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (\sqrt{6})^2 - 2 = 6 - 2 = 4$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ を求める。

$\left(x + \frac{1}{x}\right)^3 = x^3 + 3x^2\left(\frac{1}{x}\right) + 3x\left(\frac{1}{x^2}\right) + \frac{1}{x^3} = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3\left(x + \frac{1}{x}\right)$

したがって、

$x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \frac{1}{x}\right)$

(1) より $x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ であるから、

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (\sqrt{6})^3 - 3\sqrt{6} = 6\sqrt{6} - 3\sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3} = 3\sqrt{6}$