$a$, $b$ は有理数とし、$\sqrt{3}$ は無理数とする。$a + b\sqrt{3} = 0$ ならば $a = b = 0$ であることを証明する。

1. 問題の内容

$a$, $b$ は有理数とし、$\sqrt{3}$ は無理数とする。$a + b\sqrt{3} = 0$ ならば $a = b = 0$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。$b \neq 0$ と仮定します。

$a + b\sqrt{3} = 0$ より、

$b\sqrt{3} = -a$

両辺を $b$ で割ると、

$\sqrt{3} = -\frac{a}{b}$

$a$ と $b$ は有理数なので、$-\frac{a}{b}$ も有理数です。

しかし、これは $\sqrt{3}$ が無理数であるという仮定に矛盾します。

したがって、$b=0$ でなければなりません。

$a + b\sqrt{3} = 0$ に $b = 0$ を代入すると、$a + 0\sqrt{3} = 0$ となり、$a = 0$ が得られます。

よって、$a = b = 0$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a + b\sqrt{3} = 0$ ならば $a = b = 0$ である。