与えられた式 $(a+4b)(a+4b) - (3a-b)(-3a+b)$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+4b)(a+4b) - (3a-b)(-3a+b)$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(a+4b)(a+4b)$ を展開します。これは $(a+4b)^2$ と同じです。

$(a+4b)^2 = a^2 + 2(a)(4b) + (4b)^2 = a^2 + 8ab + 16b^2$

次に、$(3a-b)(-3a+b)$ を展開します。これは $-(3a-b)(3a-b) = -(3a-b)^2$と変形できます。

$(3a-b)^2 = (3a)^2 - 2(3a)(b) + b^2 = 9a^2 - 6ab + b^2$

よって、

$-(3a-b)^2 = -(9a^2 - 6ab + b^2) = -9a^2 + 6ab - b^2$

与えられた式は、

$(a+4b)^2 - (3a-b)(-3a+b) = (a^2 + 8ab + 16b^2) - (9a^2 - 6ab + b^2)$

となります。

これを展開して整理します。

$a^2 + 8ab + 16b^2 - 9a^2 + 6ab - b^2 = (a^2 - 9a^2) + (8ab + 6ab) + (16b^2 - b^2)$

$= -8a^2 + 14ab + 15b^2$

3. 最終的な答え

$-8a^2 + 14ab + 15b^2$