$x$ は実数とする。次の複素数が実数となるような $x$ の値を求める。 (1) $(x+5i)(3+i)$ (2) $\frac{x+i}{3+2i}$

1. 問題の内容

$x$ は実数とする。次の複素数が実数となるような $x$ の値を求める。

(1) $(x+5i)(3+i)$

(2) $\frac{x+i}{3+2i}$

2. 解き方の手順

(1) $(x+5i)(3+i)$ を展開し、実部と虚部に分ける。複素数が実数になるためには、虚部が0になる必要がある。

$(x+5i)(3+i) = 3x + xi + 15i + 5i^2 = 3x + xi + 15i - 5 = (3x-5) + (x+15)i$

虚部が0になるためには、$x+15 = 0$ より $x = -15$

(2) $\frac{x+i}{3+2i}$ を実数化する。分母の共役複素数 $3-2i$ を分子と分母にかける。

$\frac{x+i}{3+2i} = \frac{(x+i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)} = \frac{3x - 2xi + 3i - 2i^2}{9 - 4i^2} = \frac{3x - 2xi + 3i + 2}{9+4} = \frac{3x+2 + (3-2x)i}{13} = \frac{3x+2}{13} + \frac{3-2x}{13}i$

虚部が0になるためには、$\frac{3-2x}{13} = 0$ より $3-2x=0$、よって $x = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = -15$

(2) $x = \frac{3}{2}$