$x$ は実数とします。$\frac{x+i}{3+2i}$ が実数となるように、$x$ の値を定めます。

1. 問題の内容

$x$ は実数とします。$\frac{x+i}{3+2i}$ が実数となるように、$x$ の値を定めます。

2. 解き方の手順

$\frac{x+i}{3+2i}$ を実部と虚部に分けます。そのため、分母の複素共役を分子と分母にかけます。

$\frac{x+i}{3+2i} = \frac{(x+i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}$

$\frac{x+i}{3+2i} = \frac{3x - 2xi + 3i - 2i^2}{9 - 4i^2}$

$i^2 = -1$ なので、

$\frac{x+i}{3+2i} = \frac{3x - 2xi + 3i + 2}{9 + 4}$

$\frac{x+i}{3+2i} = \frac{3x + 2 + (3 - 2x)i}{13}$

$\frac{x+i}{3+2i} = \frac{3x + 2}{13} + \frac{3 - 2x}{13}i$

この複素数が実数となるためには、虚部が0でなければなりません。

したがって、

$\frac{3 - 2x}{13} = 0$

$3 - 2x = 0$

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{3}{2}$