問題13：$a$を実数とするとき、次の問いに答えよ。 (1) 絶対値$|a|$とは何か説明せよ。 (2) $\sqrt{a^2} = a$ の真偽を述べ、その理由を説明せよ。 問題14：二項定理を用いて、$(a-2b)^4$ を展開せよ。 問題15：次を計算せよ。ただし、$i$は虚数単位、$z \in \mathbb{C}$とする。 (1) $(3+2i)-(4-3i)$ (2) $(1-i)(2+3i)$ (3) $(3-2i)^3$ (4) $\frac{3}{1+i} + \frac{2}{1-i}$ (5) $i + \frac{1}{i}$ (6) $\text{Re}(z - \bar{z})$

1. 問題の内容

問題13：$a$を実数とするとき、次の問いに答えよ。

(1) 絶対値$|a|$とは何か説明せよ。

(2) $\sqrt{a^2} = a$ の真偽を述べ、その理由を説明せよ。

問題14：二項定理を用いて、$(a-2b)^4$ を展開せよ。

問題15：次を計算せよ。ただし、$i$は虚数単位、$z \in \mathbb{C}$とする。

(1) $(3+2i)-(4-3i)$

(2) $(1-i)(2+3i)$

(3) $(3-2i)^3$

(4) $\frac{3}{1+i} + \frac{2}{1-i}$

(5) $i + \frac{1}{i}$

(6) $\text{Re}(z - \bar{z})$

2. 解き方の手順

問題13：

(1) 実数$a$の絶対値$|a|$は、数直線上で原点からの距離を表します。つまり、

$a \geq 0$ のとき $|a| = a$

$a < 0$ のとき $|a| = -a$

です。

(2) $\sqrt{a^2} = a$ の真偽について。

$a \geq 0$ のとき、$\sqrt{a^2} = a$は真。

$a < 0$ のとき、$\sqrt{a^2} = |a| = -a \neq a$となり偽。

したがって、$\sqrt{a^2} = a$は一般的には偽です。

問題14：

二項定理より、

$(a-2b)^4 = \sum_{k=0}^4 {}_4 C_k a^{4-k} (-2b)^k$

$= {}_4 C_0 a^4 (-2b)^0 + {}_4 C_1 a^3 (-2b)^1 + {}_4 C_2 a^2 (-2b)^2 + {}_4 C_3 a^1 (-2b)^3 + {}_4 C_4 a^0 (-2b)^4$

$= a^4 - 8a^3b + 24a^2b^2 - 32ab^3 + 16b^4$

問題15：

(1) $(3+2i)-(4-3i) = 3+2i-4+3i = (3-4) + (2+3)i = -1+5i$

(2) $(1-i)(2+3i) = 1(2) + 1(3i) - i(2) - i(3i) = 2+3i-2i-3i^2 = 2+i-3(-1) = 2+i+3 = 5+i$

(3) $(3-2i)^3 = (3-2i)^2 (3-2i) = (9 - 12i + 4i^2)(3-2i) = (9-12i-4)(3-2i) = (5-12i)(3-2i) = 15 - 10i - 36i + 24i^2 = 15 - 46i - 24 = -9-46i$

(4) $\frac{3}{1+i} + \frac{2}{1-i} = \frac{3(1-i)}{(1+i)(1-i)} + \frac{2(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{3(1-i)}{1-i^2} + \frac{2(1+i)}{1-i^2} = \frac{3(1-i)}{1-(-1)} + \frac{2(1+i)}{1-(-1)} = \frac{3(1-i)}{2} + \frac{2(1+i)}{2} = \frac{3-3i+2+2i}{2} = \frac{5-i}{2} = \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i$

(5) $i + \frac{1}{i} = i + \frac{1}{i} \cdot \frac{-i}{-i} = i + \frac{-i}{-i^2} = i + \frac{-i}{-(-1)} = i - i = 0$

(6) $z = a+bi$ とすると、$\bar{z} = a-bi$。よって、

$z-\bar{z} = (a+bi) - (a-bi) = a+bi-a+bi = 2bi$

$\text{Re}(z - \bar{z}) = \text{Re}(2bi) = 0$

3. 最終的な答え

問題13：

(1) 実数$a$の絶対値$|a|$は、数直線上で原点からの距離。$a \geq 0$ のとき $|a| = a$、$a < 0$ のとき $|a| = -a$。

(2) 偽。$a<0$ のとき $\sqrt{a^2} = -a$。

問題14：

$(a-2b)^4 = a^4 - 8a^3b + 24a^2b^2 - 32ab^3 + 16b^4$

問題15：

(1) $-1+5i$

(2) $5+i$

(3) $-9-46i$

(4) $\frac{5}{2} - \frac{1}{2}i$

(5) $0$

(6) $0$