与えられた多項式$P(x)$を、指定された一次式で割った余りを求める問題(1)～(5)と、多項式$P(x)$が指定された一次式で割り切れるときの定数$a$の値を求める問題(6)～(10)です。

1. 問題の内容

与えられた多項式$P(x)$を、指定された一次式で割った余りを求める問題(1)～(5)と、多項式$P(x)$が指定された一次式で割り切れるときの定数$a$の値を求める問題(6)～(10)です。

2. 解き方の手順

(1)～(5): 剰余の定理を利用します。多項式$P(x)$を$x-c$で割った余りは$P(c)$で与えられます。$ax+b$で割る場合は、$ax+b=0$となる$x=-\frac{b}{a}$を$P(x)$に代入します。

(6)～(10): 因数定理を利用します。多項式$P(x)$が$x-c$で割り切れるとき、$P(c)=0$が成り立ちます。$ax+b$で割り切れる場合は、$ax+b=0$となる$x=-\frac{b}{a}$を$P(x)$に代入し、$P(-\frac{b}{a})=0$となるように$a$を決定します。

以下、各問題の解答です。

(1) $P(x)=2x^2-x+2$, $[x+1]$

$P(-1) = 2(-1)^2 - (-1) + 2 = 2 + 1 + 2 = 5$

(2) $P(x)=2x^3-3x^2-x+4$, $[x+1]$

$P(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - (-1) + 4 = -2 - 3 + 1 + 4 = 0$

(3) $P(x)=x^3-20x+10$, $[x-2]$

$P(2) = (2)^3 - 20(2) + 10 = 8 - 40 + 10 = -22$

(4) $P(x)=x^3+x^2-4x+3$, $[2x+1]$

$2x+1 = 0$ より $x = -\frac{1}{2}$.

$P(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^3 + (-\frac{1}{2})^2 - 4(-\frac{1}{2}) + 3 = -\frac{1}{8} + \frac{1}{4} + 2 + 3 = -\frac{1}{8} + \frac{2}{8} + 5 = \frac{1}{8} + 5 = \frac{41}{8}$

(5) $P(x)=-x^3-x^2-x-1$, $[2x+3]$

$2x+3 = 0$ より $x = -\frac{3}{2}$.

$P(-\frac{3}{2}) = -(-\frac{3}{2})^3 - (-\frac{3}{2})^2 - (-\frac{3}{2}) - 1 = -(-\frac{27}{8}) - (\frac{9}{4}) + \frac{3}{2} - 1 = \frac{27}{8} - \frac{18}{8} + \frac{12}{8} - \frac{8}{8} = \frac{13}{8}$

(6) $P(x)=x^2+3x+a$, $[x-1]$

$P(1) = (1)^2 + 3(1) + a = 1 + 3 + a = 4 + a = 0$.

$a = -4$

(7) $P(x)=x^3-3x^2-2x-a$, $[x-1]$

$P(1) = (1)^3 - 3(1)^2 - 2(1) - a = 1 - 3 - 2 - a = -4 - a = 0$.

$a = -4$

(8) $P(x) = x^3+ax-6$, $[x-2]$

$P(2) = (2)^3 + a(2) - 6 = 8 + 2a - 6 = 2 + 2a = 0$.

$2a = -2$

$a = -1$

(9) $P(x)=x^3-x^2-ax-4$, $[x+2]$

$P(-2) = (-2)^3 - (-2)^2 - a(-2) - 4 = -8 - 4 + 2a - 4 = -16 + 2a = 0$.

$2a = 16$

$a = 8$

(10) $P(x) = x^3-ax^2-5x-3$, $[x+3]$

$P(-3) = (-3)^3 - a(-3)^2 - 5(-3) - 3 = -27 - 9a + 15 - 3 = -15 - 9a = 0$.

$-9a = 15$

$a = -\frac{15}{9} = -\frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) 0

(3) -22

(4) 41/8

(5) 13/8

(6) a = -4

(7) a = -4

(8) a = -1

(9) a = 8

(10) a = -5/3