放物線 $y = x^2 - 3x + 1$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線が $y = x^2 + 5x + 2$ であるとき、$p$ と $q$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 3x + 1$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線が $y = x^2 + 5x + 2$ であるとき、$p$ と $q$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 - 3x + 1$ を平方完成します。

$y = x^2 - 3x + 1$

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 1$

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 1$

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4}$

次に、$y = x^2 + 5x + 2$ を平方完成します。

$y = x^2 + 5x + 2$

$y = (x + \frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 + 2$

$y = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + 2$

$y = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{17}{4}$

平行移動前の放物線 $y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4}$ の頂点は $(\frac{3}{2}, -\frac{5}{4})$ です。

平行移動後の放物線 $y = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{17}{4}$ の頂点は $(-\frac{5}{2}, -\frac{17}{4})$ です。

$x$ 軸方向の移動量 $p$ は、$\frac{3}{2} + p = -\frac{5}{2}$ より、$p = -\frac{5}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{8}{2} = -4$ です。

$y$ 軸方向の移動量 $q$ は、$-\frac{5}{4} + q = -\frac{17}{4}$ より、$q = -\frac{17}{4} + \frac{5}{4} = -\frac{12}{4} = -3$ です。

3. 最終的な答え

$x$ 軸方向に $-4$, $y$ 軸方向に $-3$ 平行移動しました。