問題8：次の等比数列の和 $S$ を求めよ。 (1) $3, 3 \times (-5), 3 \times (-5)^2, 3 \times (-5)^3$ (2) $-4, -4 \times (-2), -4 \times (-2)^2, \dots, -4 \times (-2)^5$ 問題9：次のような等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。また、初項から第5項までの和 $S$ を求めよ。 (1) 初項が5、公比が $\frac{1}{3}$ (2) $4, 4 \times 3, 4 \times 3^2, \dots$

1. 問題の内容

問題8：次の等比数列の和 $S$ を求めよ。

(1) $3, 3 \times (-5), 3 \times (-5)^2, 3 \times (-5)^3$

(2) $-4, -4 \times (-2), -4 \times (-2)^2, \dots, -4 \times (-2)^5$

問題9：次のような等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。また、初項から第5項までの和 $S$ を求めよ。

(1) 初項が5、公比が $\frac{1}{3}$

(2) $4, 4 \times 3, 4 \times 3^2, \dots$

2. 解き方の手順

問題8：

(1) 初項 $a = 3$、公比 $r = -5$、項数 $n = 4$ の等比数列の和 $S$ を求める。等比数列の和の公式は

$S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

であるから、

$S = \frac{3(1 - (-5)^4)}{1 - (-5)} = \frac{3(1 - 625)}{6} = \frac{3(-624)}{6} = -312$

(2) 初項 $a = -4$、公比 $r = -2$、項数 $n = 6$ の等比数列の和 $S$ を求める。等比数列の和の公式は

$S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

であるから、

$S = \frac{-4(1 - (-2)^6)}{1 - (-2)} = \frac{-4(1 - 64)}{3} = \frac{-4(-63)}{3} = 84$

問題9：

(1) 初項 $a = 5$、公比 $r = \frac{1}{3}$ の等比数列の一般項 $a_n$ を求める。一般項の公式は

$a_n = ar^{n-1}$

であるから、

$a_n = 5 \times (\frac{1}{3})^{n-1}$

初項から第5項までの和 $S$ を求める。等比数列の和の公式は

$S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

であるから、

$S = \frac{5(1 - (\frac{1}{3})^5)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{5(1 - \frac{1}{243})}{\frac{2}{3}} = \frac{5 \times \frac{242}{243}}{\frac{2}{3}} = \frac{5 \times 242 \times 3}{243 \times 2} = \frac{5 \times 121}{81} = \frac{605}{81}$

(2) 初項 $a = 4$、公比 $r = 3$ の等比数列の一般項 $a_n$ を求める。一般項の公式は

$a_n = ar^{n-1}$

であるから、

$a_n = 4 \times 3^{n-1}$

初項から第5項までの和 $S$ を求める。等比数列の和の公式は

$S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

であるから、

$S = \frac{4(1 - 3^5)}{1 - 3} = \frac{4(1 - 243)}{-2} = \frac{4(-242)}{-2} = 484$

3. 最終的な答え

問題8：

(1) $S = -312$

(2) $S = 84$

問題9：

(1) $a_n = 5 \times (\frac{1}{3})^{n-1}$, $S = \frac{605}{81}$

(2) $a_n = 4 \times 3^{n-1}$, $S = 484$