問題5と問題6は等比数列の和 $S$ を求める問題です。 問題5は(1)から(3)まであり、初項、公比、項数が与えられています。 問題6は(1)と(2)があり、等比数列が与えられています。

1. 問題の内容

問題5と問題6は等比数列の和 $S$ を求める問題です。

問題5は(1)から(3)まであり、初項、公比、項数が与えられています。

問題6は(1)と(2)があり、等比数列が与えられています。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式は次の通りです。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

ここで、$S_n$ は等比数列の初項から第 $n$ 項までの和、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数を表します。

問題5

(1) 初項 $a = 2$, 公比 $r = 3$, 項数 $n = 4$ の場合

$S_4 = \frac{2(3^4 - 1)}{3 - 1} = \frac{2(81 - 1)}{2} = 80$

(2) 初項 $a = -5$, 公比 $r = 10$, 項数 $n = 4$ の場合

$S_4 = \frac{-5(10^4 - 1)}{10 - 1} = \frac{-5(10000 - 1)}{9} = \frac{-5(9999)}{9} = -5(1111) = -5555$

(3) 初項 $a = \frac{1}{4}$, 公比 $r = 2$, 項数 $n = 5$ の場合

$S_5 = \frac{\frac{1}{4}(2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{\frac{1}{4}(32 - 1)}{1} = \frac{31}{4}$

問題6

(1) $5, 5 \times 3, 5 \times 3^2, 5 \times 3^3, 5 \times 3^4$

初項 $a = 5$, 公比 $r = 3$, 項数 $n = 5$ の場合

$S_5 = \frac{5(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{5(243 - 1)}{2} = \frac{5(242)}{2} = 5(121) = 605$

(2) $\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \times 2, \frac{1}{3} \times 2^2, ..., \frac{1}{3} \times 2^5$

初項 $a = \frac{1}{3}$, 公比 $r = 2$, 項数 $n = 6$ の場合

$S_6 = \frac{\frac{1}{3}(2^6 - 1)}{2 - 1} = \frac{\frac{1}{3}(64 - 1)}{1} = \frac{63}{3} = 21$

3. 最終的な答え

問題5

(1) 80

(2) -5555

(3) $\frac{31}{4}$

問題6

(1) 605

(2) 21