$(4x - 3y)^5$ の展開式における $xy^4$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(4x - 3y)^5$ の展開式における $xy^4$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開式を考えます。二項定理より、

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k a^{n-k} b^k$$

この問題の場合、$a = 4x$, $b = -3y$, $n = 5$ です。$xy^4$の項を探すということは、$x$の指数が1、$y$の指数が4となるような項を探します。

$$(4x - 3y)^5 = \sum_{k=0}^{5} {}_5 C_k (4x)^{5-k} (-3y)^k$$

$x^1 y^4$ の形にするためには、$5-k = 1$ かつ $k = 4$ となれば良いので、$k = 4$ の場合を考えます。

$${}_5 C_4 (4x)^{5-4} (-3y)^4 = {}_5 C_4 (4x)^1 (-3y)^4$$

$${}_5 C_4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(1)} = 5$$

したがって、$xy^4$の項は、

$$5 \times (4x) \times (-3y)^4 = 5 \times 4x \times 81y^4 = 20x \times 81y^4 = 1620xy^4$$

よって、$xy^4$ の係数は $1620$ となります。

3. 最終的な答え

1620