正方行列 $A$ は単位行列 $I$ ではないべき等行列である (つまり $A^2 = A$ を満たす)。このとき、$A$ は正則ではないことを示す。

1. 問題の内容

正方行列 $A$ は単位行列 $I$ ではないべき等行列である (つまり $A^2 = A$ を満たす)。このとき、$A$ は正則ではないことを示す。

2. 解き方の手順

$A$ が正則であると仮定する。このとき、逆行列 $A^{-1}$ が存在する。$A^2 = A$ の両辺に左から $A^{-1}$ をかけると、

$A^{-1}A^2 = A^{-1}A$

$(A^{-1}A)A = A^{-1}A$

$IA = I$

$A = I$

これは、$A$ が単位行列 $I$ ではないという仮定に矛盾する。したがって、$A$ は正則ではない。

別解：

$A$が正則であると仮定すると、$A$の逆行列$A^{-1}$が存在する。$A^2=A$の両辺に右から$A^{-1}$をかけると、

$A^2A^{-1}=AA^{-1}$

$A(AA^{-1})=AA^{-1}$

$AI=I$

$A=I$

これは、$A$ が単位行列 $I$ ではないという仮定に矛盾する。したがって、$A$ は正則ではない。

さらに別解：

背理法を用いる。

$A$が正則であると仮定する。このとき、ある行列$B$が存在して、$AB=BA=I$を満たす。

問題文より、$A^2=A$であるから、

$A^2B = AB$

$A(AB)=AB$

$AI = I$

$A = I$

これは、$A$は単位行列ではないという仮定に矛盾する。したがって、$A$は正則ではない。

3. 最終的な答え

Aは正則ではない。