$0 \le x \le 6$ において、異なる2つの1次関数 $y = mx + 5$ と $y = \frac{3}{2}x + n$ の $y$ の変域が一致するときの、$m$ と $n$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 6$ において、異なる2つの1次関数 $y = mx + 5$ と $y = \frac{3}{2}x + n$ の $y$ の変域が一致するときの、$m$ と $n$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

2つの1次関数の $y$ の変域が一致するためには、以下の2つのケースが考えられます。

ケース1：$y = mx + 5$ が単調増加関数である場合、$y = \frac{3}{2}x + n$ も単調増加関数である必要があります。しかし、問題文には「異なる2つの1次関数」とあるので、$m = \frac{3}{2}$ はありえません。

ケース2：$y = mx + 5$ が単調減少関数である場合、$y = \frac{3}{2}x + n$ は単調増加関数なので、それぞれの $x$ の変域の端点に対応する $y$ の値が入れ替わる必要があります。つまり、$x = 0$ のときの $y = mx + 5$ の値が $y = \frac{3}{2}x + n$ の $x = 6$ のときの値に一致し、$x = 6$ のときの $y = mx + 5$ の値が $y = \frac{3}{2}x + n$ の $x = 0$ のときの値に一致する必要があります。

まず、$x = 0$ のときの $y = mx + 5$ の値を求めます。

$y = m(0) + 5 = 5$

次に、$x = 6$ のときの $y = \frac{3}{2}x + n$ の値を求めます。

$y = \frac{3}{2}(6) + n = 9 + n$

したがって、$5 = 9 + n$ となるので、

$n = 5 - 9 = -4$

次に、$x = 6$ のときの $y = mx + 5$ の値を求めます。

$y = m(6) + 5 = 6m + 5$

次に、$x = 0$ のときの $y = \frac{3}{2}x + n$ の値を求めます。

$y = \frac{3}{2}(0) + n = n$

したがって、$6m + 5 = n$ となるので、$n = -4$ を代入すると、

$6m + 5 = -4$

$6m = -9$

$m = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$m = -\frac{3}{2}$

$n = -4$