問題 (4) と問題 (8) のそれぞれについて、$x$ と $y$ がパラメータ $t$ で表された式が与えられています。これらの式からパラメータ $t$ を消去し、$x$ と $y$ の関係式を求めることが目的です。 問題(4): $x = \frac{1}{2t} - 2$, $y = 3t + \frac{1}{2}$ 問題(8): $x = \frac{1}{2t}$, $y = \sqrt{2t+1}$

1. 問題の内容

問題 (4) と問題 (8) のそれぞれについて、$x$ と $y$ がパラメータ $t$ で表された式が与えられています。これらの式からパラメータ $t$ を消去し、$x$ と $y$ の関係式を求めることが目的です。

問題(4): $x = \frac{1}{2t} - 2$, $y = 3t + \frac{1}{2}$

問題(8): $x = \frac{1}{2t}$, $y = \sqrt{2t+1}$

2. 解き方の手順

問題 (4):

まず、$x$ の式から $t$ について解きます。

$x = \frac{1}{2t} - 2$

$x + 2 = \frac{1}{2t}$

$2t = \frac{1}{x+2}$

$t = \frac{1}{2(x+2)}$

次に、$y$ の式に上記の結果を代入します。

$y = 3t + \frac{1}{2}$

$y = 3 \left( \frac{1}{2(x+2)} \right) + \frac{1}{2}$

$y = \frac{3}{2(x+2)} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{3 + (x+2)}{2(x+2)}$

$y = \frac{x+5}{2(x+2)}$

問題 (8):

まず、$x$ の式から $t$ について解きます。

$x = \frac{1}{2t}$

$2t = \frac{1}{x}$

$t = \frac{1}{2x}$

次に、$y$ の式に上記の結果を代入します。

$y = \sqrt{2t+1}$

$y = \sqrt{2 \left( \frac{1}{2x} \right) + 1}$

$y = \sqrt{\frac{1}{x} + 1}$

$y = \sqrt{\frac{1+x}{x}}$

$y^2 = \frac{1+x}{x}$

$y^2 = \frac{1}{x} + 1$

$y^2 - 1 = \frac{1}{x}$

$x = \frac{1}{y^2 - 1}$

3. 最終的な答え

問題(4): $y = \frac{x+5}{2(x+2)}$

問題(8): $x = \frac{1}{y^2 - 1}$