$a$ を正の定数、$t$ を2より大きい定数とする。座標平面上に、$x$ 座標が $-t$ の2点 $A, B$ と、$x$ 座標が $t$ の2点 $C, D$ がある。四角形 $ABCD$ は正方形である。関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフ (1) は2点 $A, D$ を通り、関数 $y = ax^2$ のグラフ (2) は2点 $B, C$ を通る。直線 $BD$ とグラフ (1) の $D$ 以外の交点を $E$ とおき、直線 $BD$ とグラフ (2) の $B$ 以外の交点を $F$ とおく。 (1) $a$ を $t$ を用いて表せ。 (2) 点 $E$ の $x$ 座標を $t$ を用いて表せ。 (3) 原点を $O$ とする。$\triangle OBF$ の面積が $\triangle OED$ の面積の2倍であるとき、$t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数、$t$ を2より大きい定数とする。座標平面上に、$x$ 座標が $-t$ の2点 $A, B$ と、$x$ 座標が $t$ の2点 $C, D$ がある。四角形 $ABCD$ は正方形である。関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフ (1) は2点 $A, D$ を通り、関数 $y = ax^2$ のグラフ (2) は2点 $B, C$ を通る。直線 $BD$ とグラフ (1) の $D$ 以外の交点を $E$ とおき、直線 $BD$ とグラフ (2) の $B$ 以外の交点を $F$ とおく。

(1) $a$ を $t$ を用いて表せ。

(2) 点 $E$ の $x$ 座標を $t$ を用いて表せ。

(3) 原点を $O$ とする。$\triangle OBF$ の面積が $\triangle OED$ の面積の2倍であるとき、$t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 四角形 $ABCD$ は正方形なので、$AD$ の長さは $2t$ である。点 $D$ は $y = \frac{1}{2}x^2$ 上にあるので、$D$ の $y$ 座標は $\frac{1}{2}t^2$ である。したがって、$AD = \frac{1}{2}t^2 - A_y = 2t$ より $A_y = \frac{1}{2}t^2-2t$ である。また、$B$ の座標は $(-t, at^2)$ であり、$AB$ の長さは $2t$ であるから、$D$ の $y$ 座標と $B$ の $y$ 座標の差は $2t$ となる。

つまり、$\frac{1}{2}t^2 - at^2 = 2t$。

$t > 2$ なので、$t \ne 0$ であるから両辺を $t$ で割って、$\frac{1}{2}t - at = 2$。

よって、$at = \frac{1}{2}t - 2$。

したがって、$a = \frac{1}{2} - \frac{2}{t} = \frac{t-4}{2t}$。

(2) 直線 $BD$ の方程式を求める。$B(-t, at^2)$, $D(t, \frac{1}{2}t^2)$ なので、傾きは $\frac{\frac{1}{2}t^2 - at^2}{t - (-t)} = \frac{\frac{1}{2}t^2 - (\frac{1}{2}-\frac{2}{t})t^2}{2t} = \frac{\frac{2t}{t}t^2}{2t*t} = \frac{2t^2}{2t^2} = \frac{2}{2} =1$

$a$ に求めた値を代入すると、傾きは $\frac{\frac{1}{2}t^2 - (\frac{1}{2}-\frac{2}{t})t^2}{2t} = \frac{2t}{2t} = 1$

$D(t, \frac{1}{2}t^2)$ を通るので、直線 $BD$ の方程式は $y - \frac{1}{2}t^2 = 1(x - t)$。

よって、$y = x - t + \frac{1}{2}t^2$。

点 $E$ は直線 $BD$ と曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ の交点なので、

$\frac{1}{2}x^2 = x - t + \frac{1}{2}t^2$。

$x^2 = 2x - 2t + t^2$。

$x^2 - 2x - (t^2 - 2t) = 0$。

$(x - t)(x + t - 2) = 0$。

$x = t, -t + 2$。

$D$ 以外の交点なので、$E$ の $x$ 座標は $-t + 2$。

(3) 点 $B$ の座標は $(-t, at^2) = (-t, (\frac{1}{2} - \frac{2}{t})t^2) = (-t, \frac{1}{2}t^2 - 2t)$ である。

点 $F$ の座標を求める。直線 $BD$ の式は $y = x - t + \frac{1}{2}t^2$。

曲線 $y = ax^2 = (\frac{1}{2} - \frac{2}{t})x^2 = (\frac{t - 4}{2t})x^2$ との交点。

$(\frac{t - 4}{2t})x^2 = x - t + \frac{1}{2}t^2$。

$(t - 4)x^2 = 2t(x - t + \frac{1}{2}t^2) = 2tx - 2t^2 + t^3$。

$(t-4)x^2 - 2tx + 2t^2 - t^3 = 0$

$B$ の $x$ 座標 $-t$ はこの方程式の解なので、$(x+t)$ が因数にある。

$(x+t)((t-4)x -t^2+2t) = 0$

$(t-4)x = t^2-2t$ より $x = \frac{t(t-2)}{t-4}$.

$F(\frac{t(t-2)}{t-4}, (\frac{t-4}{2t})(\frac{t(t-2)}{t-4})^2)$.

$F(\frac{t(t-2)}{t-4}, (\frac{t(t-2)^2}{2(t-4)})$.

$\triangle OBF$ の面積 $= \frac{1}{2} |(-t) \cdot 0 - (\frac{1}{2}t^2 - 2t) \cdot \frac{t(t-2)}{t-4}|$。

$= \frac{1}{2} | (\frac{4-t}{2}t) \frac{t(t-2)}{t-4}|$ = $\frac{1}{4}|t^2(t-2)| = \frac{1}{4}t^3 - \frac{1}{2}t^2$.

$\triangle OED$ の面積 $= \frac{1}{2} | t(0 - (-t+2)\cdot \frac{t}{2}^2) - \frac{t^2}{2} \cdot0 | = \frac{1}{2} t(\frac{t}{2}-t + 2)$.

$\triangle OBF$ の面積 $= 2 \triangle OED$ の面積

$\frac{1}{2} t(x-(-t+2)) + \frac{t}{2}$

$\frac{1}{2} |t(\frac{t^2-2t}{2}-t)|$.

$t^2=8$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{t-4}{2t}$

(2) 点 $E$ の $x$ 座標は $-t + 2$

(3) $t=8$