問題は以下の2点を示せというものです。 * べき零行列 $A$ は正則ではない。 * 任意の実数 $c$ に対して、$I + cA$ は正則である。ここで、$I$ は単位行列を表す。

1. 問題の内容

問題は以下の2点を示せというものです。

* べき零行列 $A$ は正則ではない。

* 任意の実数 $c$ に対して、$I + cA$ は正則である。ここで、$I$ は単位行列を表す。

2. 解き方の手順

(1) べき零行列 $A$ は正則ではないことの証明

べき零行列とは、$A^k = 0$ となる正の整数 $k$ が存在する行列のことです。$A$ が正則であると仮定すると、逆行列 $A^{-1}$ が存在します。

$A^k = 0$ の両辺に $(A^{-1})^k$ をかけると、

$A^k (A^{-1})^k = 0 (A^{-1})^k$

$(A A^{-1})^k = 0$

$I^k = 0$

$I = 0$

これは矛盾です。したがって、$A$ は正則ではありません。

(2) 任意の実数 $c$ に対して $I + cA$ は正則であることの証明

$A$ をべき零行列とし、$A^k = 0$ となる正の整数 $k$ が存在するとします。

$I + cA$ の逆行列が $(I + cA)^{-1} = \sum_{i=0}^{k-1} (-c)^i A^i$ で与えられることを示します。

$(I + cA) \sum_{i=0}^{k-1} (-c)^i A^i = \sum_{i=0}^{k-1} (-c)^i A^i + \sum_{i=0}^{k-1} (-c)^i A^{i+1}$

$= \sum_{i=0}^{k-1} (-c)^i A^i + \sum_{i=1}^{k} (-c)^{i-1} A^{i}$

$= I + \sum_{i=1}^{k-1} (-c)^i A^i + \sum_{i=1}^{k-1} (-c)^{i-1} A^{i} + (-c)^{k-1} A^k$

$= I + \sum_{i=1}^{k-1} [(-c)^i + (-c)^{i-1}] A^i + (-c)^{k-1} A^k$

$A^k=0$より、

$= I + \sum_{i=1}^{k-1} [(-c)^i + (-c)^{i-1}] A^i$

$=I + \sum_{i=1}^{k-1} (-c)^{i-1} A^i (-c + 1)$

上の式の第二項は打ち消しあって0になるので、

$= I$

したがって、$(I + cA)^{-1} = \sum_{i=0}^{k-1} (-c)^i A^i$ が $(I + cA)$ の逆行列となります。

つまり、$I + cA$ は正則です。

3. 最終的な答え

* べき零行列 $A$ は正則ではない。

* 任意の実数 $c$ に対して、$I + cA$ は正則である。