与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ k & k+4 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問いに答えます。 (1) $A$と$B$が正則かどうか調べ、正則ならば逆行列を求めます。 (2) $C$が正則とならないような実数$k$の値を求めます。 (3) $AXB=C$を満たす行列$X$を求めます。ただし、$C$は正則でないとします。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ k & k+4 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問いに答えます。

(1) $A$と$B$が正則かどうか調べ、正則ならば逆行列を求めます。

(2) $C$が正則とならないような実数$k$の値を求めます。

(3) $AXB=C$を満たす行列$X$を求めます。ただし、$C$は正則でないとします。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$, $B$ が正則かどうかは、行列式を計算することで判定できます。行列式が 0 でないとき、正則です。

$det(A) = 1 \cdot 5 - (-2) \cdot 1 = 5 + 2 = 7$

$det(B) = 2 \cdot 3 - (-1) \cdot (-5) = 6 - 5 = 1$

$det(A) \neq 0$, $det(B) \neq 0$ なので、$A$ と $B$ は正則です。

次に、逆行列を求めます。

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/7 & 2/7 \\ -1/7 & 1/7 \end{pmatrix}$

$B^{-1} = \frac{1}{det(B)} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $C$ が正則でない条件は $det(C) = 0$ となることです。

$det(C) = 1 \cdot (k+4) - 3 \cdot k = k+4 - 3k = -2k + 4$

$-2k + 4 = 0$ を解くと、 $k = 2$

(3) $AXB=C$ の両辺に左から $A^{-1}$、右から $B^{-1}$ を掛けると、

$A^{-1}AXBB^{-1} = A^{-1}CB^{-1}$

$IXI = A^{-1}CB^{-1}$

$X = A^{-1}CB^{-1}$

$k=2$ のとき $C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$ であり、$det(C)=0$ です。

$X = \begin{pmatrix} 5/7 & 2/7 \\ -1/7 & 1/7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$

$A^{-1}C = \begin{pmatrix} 5/7 & 2/7 \\ -1/7 & 1/7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (5+4)/7 & (15+12)/7 \\ (-1+2)/7 & (-3+6)/7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9/7 & 27/7 \\ 1/7 & 3/7 \end{pmatrix}$

$X = (A^{-1}C)B^{-1} = \begin{pmatrix} 9/7 & 27/7 \\ 1/7 & 3/7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (27+135)/7 & (9+54)/7 \\ (3+15)/7 & (1+6)/7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 162/7 & 63/7 \\ 18/7 & 7/7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 162/7 & 9 \\ 18/7 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

$A$は正則であり、$A^{-1} = \begin{pmatrix} 5/7 & 2/7 \\ -1/7 & 1/7 \end{pmatrix}$

$B$は正則であり、$B^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$

(2)

$k = 2$

(3)

$X = \begin{pmatrix} 162/7 & 9 \\ 18/7 & 1 \end{pmatrix}$